Задача 11 (Невизначений інтеграл)

Обчислити інтеграл  \int \frac{5x+1}{x^{2}-4x+1}dx

♦  \int \frac{5x+1}{x^{2}-4x+1}dx=

 x^{2}-4x+1=0,

 D=16-4=12,\; \sqrt{D}=\pm 2\sqrt{3}

 x_{1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}, x_{2}=2-\sqrt{3}.

 x^{2}-4x+1=(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})

 \frac{5x+1}{x^{2}-4x+1}=\frac{A}{x-2-\sqrt{3}}+\frac{B}{x-2+\sqrt{3}}=

 =\frac{Ax-2A+A\sqrt{3}+Bx-2B-B\sqrt{3}}{(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})}=

 =\frac{(A+B)x+(A\sqrt{3}-B\sqrt{3}-2A-2B)}{(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})}

 \left\{\begin{matrix} A+B=5,\\ A\sqrt{3}-B\sqrt{3}-2A-2B=1; \end{matrix}\right.\Rightarrow

 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=5-B,\\ 5\sqrt{3}-B\sqrt{3}-B\sqrt{3}-10+2B-2B=1; \end{matrix}\right.\Rightarrow

 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=5-B,\\ -2\sqrt{3}B=10-5\sqrt{3} \end{matrix}\right.;\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=5-B,\\ B=-\frac{5}{\sqrt{3}}+\frac{5}{2} \end{matrix}\right.;\Rightarrow

 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=\frac{5}{2}+\frac{5}{\sqrt{3}},\\ B=\frac{5}{2}-\frac{5}{\sqrt{3}} \end{matrix}\right..

 =\left(\frac{5}{2}+\frac{5}{\sqrt{3}} \right)\int \frac{dx}{x-2-\sqrt{3}}+\left(\frac{5}{2}-\frac{5}{\sqrt{3}} \right)\int \frac{dx}{x-2+\sqrt{3}}=

 =\left(\frac{5}{2}+\frac{5}{\sqrt{3}} \right)ln\left|x-2-\sqrt{3} \right|+\left(\frac{5}{2}-\frac{5}{\sqrt{3}} \right)ln\left|x-2+\sqrt{3} \right|+C=

 =\frac{5}{2}ln\left|x^{2}-4x+1 \right|+\frac{5}{\sqrt{3}}ln\left|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}} \right|+C  ♦.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *