Задача (Скалярний добуток векторів у просторі)

Знайти

 |\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]| , якщо  \vec{a}\perp \vec{b} та  |\vec{a}|=1,\; |\vec{b}|=2 .

♦ Нехай  \vec{a}(a_{x};a_{y};a_{z}) ,  \vec{b}(b_{x};b_{y};b_{z}) .

Тоді:
 2\vec{a}(2a_{x};2a_{y};2a_{z}) ,
 3\vec{a}(3a_{x};3a_{y};3a_{z}) ,
 2\vec{b}(2b_{x};2b_{y};2b_{z}) ,


 2\vec{a}-\vec{b}=(2a_{x}-b_{x};2a_{y}-b_{y};2a_{z}-b_{z})
 3\vec{a}+2\vec{b}=(3a_{x}+2b_{x};3a_{y}+2b_{y};3a_{z}+2b_{z})


 |\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|=|\left(2a_{x}-b_{x} \right)\left(3a_{x}+2b_{x} \right)+
 +\left(2a_{y}-b_{y} \right)\left(3a_{y}+2b_{y} \right)+\left(2a_{z}-b_{z} \right)\left(3a_{z}+2b_{z} \right)|=
 =|6a_{x}^{2}-3a_{x}b_{x}+4a_{x}b_{x}-2b_{x}^{2}+6a_{y}^{2}-3a_{y}b_{y}+4a_{y}b_{y}-
 -2b_{y}^{2}+6a_{z}^{2}-3a_{z}b_{z}+4a_{z}b_{z}-2b_{z}^{2}|=
 =|6\left( a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}\right)+\left(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} \right)-2\left(b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2} \right)| (*)


 |\vec{a}|=\sqrt{ a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}\Rightarrow a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}=|\vec{a}|^{2};
 |\vec{b}|=\sqrt{ b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}\Rightarrow b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}=|\vec{b}|^{2};
 \vec{a}\cdot \vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z};
 \vec{a}\perp \vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0\Rightarrow a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0;

Підставимо отримані значення в рівність (*) і отримаємо:
 |\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|=|6\cdot 1^{2}+0-2\cdot 2^{2}|=
 =|6+0-8|=|-2|=2

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *