Задача 13 (Невизначений інтеграл)

Знайти інтеграл  \int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}dx

♦   \int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}dx=\int x^{-1}(x^{2}-9)^{\frac{1}{2}}dx=\int x^{-1}(-9+x^{2})^{\frac{1}{2}}dx=

 =\begin{vmatrix} \frac{-1+1}{2}=0\in Z\\ -9+x^{2}=t^{2}\\ x^{2}-9=t^{2}\\ 2xdx=2tdt\\ xdx=tdt\\ x=\sqrt{t^{2}+9}\\ dx=\frac{tdt}{\sqrt{t^{2}+9}}\\ t=\sqrt{x^{2}-9} \end{vmatrix}= \int \frac{(t^{2})^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{t^{2}+9}}\cdot \frac{tdt}{\sqrt{t^{2}+9}}=

 =\int \frac{t^{2}dt}{t^{2}+9}=\int \frac{\left(t^{2}+9-9 \right)dt}{t^{2}+9}=

 =\int dt-9\int \frac{dt}{t^{2}+9}=t-9\cdot \frac{1}{3}arctg\frac{t}{3}+C=

 =\sqrt{x^{2}-9}-3arctg\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}+C .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *