Задача (Перехід між базисами)

Знайти матрицю лінійного оператора

 A:R^{2}\rightarrow R^{3} , де  A\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}-x_{2}+3x_{3} \\ 2x_{1}+x_{3}\end{pmatrix} в канонічному базисі простору  R^{3} .

Нехай в просторі   R^{3} задано деякий вектор  \vec{x}\left(x_{1};x_{2};x_{3} \right) .

Під дією ліінйного оператора вектор   \vec{x} переходить у вектор   \vec {y}\left(x_{1}-x_{2}+3x_{3};2x_{1}+x_{3} \right) .

Канонічний базис простору   R^{3} має вигляд { \vec{e_{1}};\vec{e_{2}};\vec{e_{3}} } , де  \vec{e_{1}}=(1;0;0) ,  \vec{e_{2}}=(0;1;0) ,  \vec{e_{3}}=(0;0;1) .

Оскільки, лінійний оператор діє на кожен вектор простору  R^{3} , то він дії і на базисні вектори за тим самим правилом. Тобто:

 A\left(\vec{e_{1}} \right)=\begin{pmatrix}1-0+3\cdot 0\\ 2\cdot 1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}=(1;2)

 A\left(\vec{e_{2}} \right)=\begin{pmatrix}0-1+3\cdot 0\\ 2\cdot 0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 0 \end{pmatrix}=(-1;0)

 A\left(\vec{e_{3}} \right)=\begin{pmatrix}0-0+3\cdot 1\\ 2\cdot 0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 1 \end{pmatrix}=(3;1)

З векторів, що утворилися маємо матрицю  A'=\begin{pmatrix}1 &2 \\ -1 &0 \\ 3 & 1\end{pmatrix} .

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *