Задача 16 (Знайти циркуляцію вектора по контуру)

Обчислити циркуляцыю вектора а по контуру L

а) безпосередньо;    б) за формулою Стокса.

 \vec{a}=y\vec{i}+3x\vec{j}+z^{2}\vec{k}

 L: \left\{\begin{matrix} z=x^{2}+y^{2}-1,\\ z=3. \end{matrix}\right.

♦ а) За формулою Стокса:

  \int _{L_{\Pi }^{+}}Pdx+Qdy+Rdz=

 =\int \int _{S^{+}}(R^{'}_{y}-Q^{'}_{z})dydz+(P^{'}_{z}-R^{'}_{x}dxdz+(Q^{'}_{x}-P^{'}_{y})dxdy

 P=y,\; Q=3x,\; R=z^{2}

 \begin{matrix}  R^{'}_{y}=0 & R^{'}_{x}=0\\ Q^{'}_{z}=0 & Q^{'}_{x}=3\\ P^{'}_{z}=0 & P^{'}_{y}=1 \end{matrix}

Ц =  \int \int _{S}=(3-1)dxdy=2\int \int _{D}dxdy=

 =2\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{0}^{1}{\rho d\rho }=2\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}=2\pi  .

б) Безпосередньо:

Ц =  \int _{L}Pdx+Qdy+Rdz=

 =\int ydx+\int 3xdy+\int z^{2}dz=

 \begin{matrix} x=cost & y=sint & z=cos^{2}t+sin^{2}t-1=1-1=0 \\ dx=-sintdt & dy=costdt & dz=0 \end{matrix}

 = \int_{0}^{2\pi }{sint\cdot \left(-sint \right)dt}+\int_{0}^{2\pi }{3cost\cdot costdt}+0=

 =\int_{0}^{2\pi }{\left(3cos^{2}t-sin^{2}t \right)dt}=

 =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }{\left(3+3cos2t-1+cos2t \right)dt}=

 =\int_{0}^{2\pi }{\left(1+2cos2t \right)dt}=\left(t+\frac{2sin2t}{2} \right)|_{0}^{2\pi }=2\pi

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *