Задача 19 (Інтегрування дробово – раціональних функцій)

Знайти інтеграл  \int \frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}+2x^{2}+x}dx

♦   \int \frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}+2x^{2}+x}dx=\int \frac{x^{2}-3x+2}{x\left(x^{2}+2x+1 \right)}dx=

 = \int \frac{x^{2}-3x+2}{x(x+1)^{2}}dx =

 = \frac{x^{2}-3x+2}{x(x+1)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}=

 = \frac{Ax^{2} + 2Ax + A + Bx^{2} + Bx + Cx}{x(x+1)^{2}} =

 = \frac{(A+B)x^{2}+ (2A+B+C)x +A}{x(x+1)^{2}}

 \left\{\begin{matrix} A + B = 1, \\ 2A + B + C = -3, \\ A = 2; \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} B = -1,\\ 4-1+C = -3,\\ A = 2; \end{matrix}\right. \Rightarrow

  \Rightarrow  \left \{\begin{matrix}  A = 2, \\ B = -1, \\ C = - 6  \end{matrix} \right.

 = 2 \int \frac{dx}{x} - \int \frac{dx}{x+1} - 6 \int \frac{dx}{(x+1)^{2}} =

 = 2 ln \left|x \right| - ln \left|x+1 \right| + 6\cdot \frac{1}{x+1}+C =

 = 2 ln \left|x \right| - ln \left|x+1 \right| + \frac{6}{x+1} +C  ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *