Задача (Добуток матриць)

Обчислити добутки матриць АВ та ВА  (якщо це можливо) для заданих матриць:

a)   A = \begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">1 &-1 &2 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">0& -3 &4</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix},</span> <span style="font-size: 14pt;">B = \begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">0 &1 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">1&0 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">-1&1</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix};

б)  A =\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-1\\</span> <span style="font-size: 14pt;">3\\</span> <span style="font-size: 14pt;">2\\</span> <span style="font-size: 14pt;">4</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix},\;</span> <span style="font-size: 14pt;">B = \begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">3 &5 &-4 &0</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix} ;

в)  A =\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-2 &4 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">3&-1</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix},\;</span> <span style="font-size: 14pt;">B = \begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-1 &3 &4 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">4& 3 &-1</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix};

г)    A=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">2 &-1 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">0&5</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}, \;</span> <span style="font-size: 14pt;">B = \begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">7 &3 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">4 & -1\\</span> <span style="font-size: 14pt;">2 &0</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">.

♦ а) Задано матриці  A_{2\times 3} \; i \; B_{3\times 2}.  Їх розмірності дозволяють знайти добутки  АВ і ВА. При цьому добуток АВ матиме розмірність 2×2, а добуток ВА – 3×3. Отже:

 AB = \begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">1 &-1 &2 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">0&-3 &4</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">0 &1 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">1& 0\\</span> <span style="font-size: 14pt;">-1 &1</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">0-1-2 &1-0+2 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">0-3-4 & 0-0+4</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=

=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-3&3 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">-7&4</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}

 BA=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">0 &1 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">1& 0\\</span> <span style="font-size: 14pt;">-1 &1</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">1 &-1 &2 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">0&-3 &4</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=

</span> <span style="font-size: 14pt;">=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">0+0 &0-3 &0+4 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">1+0 & -1-0 &2+4 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">-1+0& 1-3 & -2+4</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">0 &-3 &4 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">1& -1& 6\\</span> <span style="font-size: 14pt;">-1&-2 &2</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}

б) Для заданих матриць існують обидва добутки АВ та ВА. Матриця АВ матиме розмірність 4×4, а матриця ВА – 1×1.

 AB =\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-1\\</span> <span style="font-size: 14pt;">3\\</span> <span style="font-size: 14pt;">2\\</span> <span style="font-size: 14pt;">4</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">3 & 5 &-4& 0</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-3 &-5 &4 &0 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">9& 15& -12& 0\\</span> <span style="font-size: 14pt;">6 &10 &-8 &0 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">12& 20& -16&0</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">

 BA=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">3 &5 &-4 &0</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-1\\</span> <span style="font-size: 14pt;">3\\</span> <span style="font-size: 14pt;">2\\</span> <span style="font-size: 14pt;">4</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-3+15-8+0</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">4</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}

в) Оскільки розмірність матриці А 2×2, а розмірність матриці В 2×3, то в даному випадку існує лише добуток АВ. Це буде матриця розмірності 2×3.  Добуток ВА знайти не можливо.

 AB= \begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-2 &4 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">3 &-1</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-1 &3 &4 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">4& 3& -1</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=

=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">2+16 &-6+12 &-8-4 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">-3-4& 9-3 &12+1</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">18 &6 &-12 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">-7& 6& 13</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}

Оскільки розмірність матриці А 2×2, а розмірність матриці В 3×2, то можемо знайти лише добуток ВА розмірності 3×2. Добуток АВ знайти неможливо.

 BA=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">7 &3 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">4& -1\\</span> <span style="font-size: 14pt;">2& 0</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">2 &-1 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">0& 5</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">14+0 &-7+15 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">8-0&-4-5 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">4+0& -2+0</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=

=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">14 &8 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">8&-9 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">4&-2</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix} . ♦

 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *