Задача 2 (Маса гвинтової лінії)

Обчислити масу гвинтової лінії x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 4t, 0 ≤ t ≤ 2π, якщо густина в кожній її точці γ = 2z.

♦ Масу заданої просторової кривої визначимо за формулою 

 m = \int_{\alpha }^{\beta }{\gamma (x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'^{2}(t)+y'^{2}(t)+z'^{2}(t)}dt} .

Оскільки γ = 2z = 2·4t = 8t i x'(t) = -3 sin t, y'(t) = 3 cos t, z'(t) = 4, то 

 m=\int_{0}^{2\pi }{8t\sqrt{9sin^{2}t+9cos^{2}t+16}dt}=20t^{2}|_{0}^{2\pi }=80\pi ^{2} .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *