Задача (Задача Коші)

Розв’язати задачу Коші
 y"-y'=\frac{1}{1+e^{t}},\; y(0)=y'(0)=0.

♦ Розглянемо рівняння  y"-y'=1,\; y(0)=y"(0)=0. . Нехай  y_{1}(t) – його розв’язок.  Y_{1}(t) – його зображення.

 y''(t)=p^{2}Y_{1}(p)-p\cdot 0-0=p^{2}Y_{1}(p),

 y'(t)=p\cdot Y_{1}(p)-0=pY_{1}(p),

 p^{2}Y_{1}(p)-pY_{1}(p)=\frac{1}{p},

 Y_{1}(p)=\frac{1}{p(p^{2}-p)}=\frac{1}{p^{2}(p-1)},

 \frac{1}{p^{2}(p-1)}=\frac{A}{p}+\frac{B}{p^{2}}+\frac{C}{p-1},

 Ap(p-1)+B(p-1)+Cp^{2}=1,

 p^{2}:\; A+C=0;

 p:\; -A+B=0;

 1:\; -B=1\Rightarrow

 \begin{cases}C=1, \ A=-1, \ B=-1.\end{cases}

 Y_{1}(p)=-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{p-1}\Rightarrow y_{1}(t)=-1-y+e^{t}.

Знаходимо розв’язок заданого рівняння y(t):

 y(t)=\int_{0}^{t}{y_{1}'(\tau)}f(t-\tau )d\tau ,

 y(t)=\int_{0}^{t}{\frac{-1+e^{\tau }}{e^{t-\tau }+1}d\tau }=\int_{0}^{t}{\frac{e^{\tau }-1}{e^{t-\tau }+1}d\tau }=\int_{0}^{\tau }{\frac{e^{t}-1}{e^{t}+1}d\tau }=

 =\int_{0}^{t}{\frac{e^{2\tau }-e^{\tau }}{e^{t}+e^{\tau }}d\tau }=\int_{0}^{t}{\frac{e^{2\tau }}{e^{t}+e^{\tau }}d\tau }-\int_{0}^{t}{\frac{e^{\tau }}{e^{t}+e^{\tau }}d\tau }=

 =\begin{vmatrix}e^{t}+e^{\tau }=z,\\e^{\tau }d\tau =dz\end{vmatrix}=\int_{0}^{t}{\frac{\left(z-e^{t} \right)}{z}}-\int_{0}^{t}{\frac{1}{z}dz}=

 =\int_{0}^{t}{(1-\frac{e^{t}}{z}})dz+\int_{0}^{t}{\frac{dz}{z}}=

 =\left(z-e^{t} ln\left|z \right|\right)|_{0}^{t}+ln\left|z \right||_{0}^{t}=

 =\left(e^{t}+e^{\tau }-e^{t}\cdot ln\left|e^{t}+e^{\tau } \right| \right)|_{0}^{t}+ln\left|e^{t}+e^{\tau } \right||_{0}^{t}=

 =e^{t}+e^{t}-e^{t}\cdot ln2e^{t}-e^{t}-e^{0}-e^{0}\cdot ln\left|e^{t}+e^{0} \right|+

 +ln\left|2e^{t} \right|-ln\left|e^{t}+e^{0} \right|=

 =e^{t}-e^{t}\cdot ln(2e^{t})-1-ln(e^{t})+ln(2e^{t})-ln(e^{t})=

 =e^{t}-e^{t}\cdot ln(2e^{t})-1-2ln(e^{t})+ln(2e^{t})=

 =e^{t}-1-\left(e^{t}-1 \right)ln2e^{t}-lne^{2t}=

 =\left(e^{t}-1 \right)\left(1-ln2e^{t} \right)-lne^{2t}=

 =\left(e^{t}-1 \right)\left(1-\left( ln2+lne^{t}\right) \right)-2t=

 =\left(e^{t}-1 \right)\left(1- ln2+t\right)-2t=

 =e^{t}-1-e^{t}\cdot ln2+ln2+te^{t}-te^{t}-t-2t=

 =e^{t}\left(1-ln2+t \right)-\left(1-ln2+3t \right)

Відповідь:  y(t)=e^{t}\left(1-ln2+t \right)-\left(1-ln2+3t \right) .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *