Задача 2 (Запис загального члена ряду)

Записати загальний член заданого ряду:

а)   \frac{1}{10}+\frac{2}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{4}{10000}+....;

б)  \frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{8}+... ;

в)  sin\alpha +\frac{sin2\alpha}{3}+\frac{sin3\alpha}{5}+\frac{sin4\alpha}{7}+... ;

г)  \left(1 +\frac{i}{2}\right)+\left(\frac{1}{3} +\frac{i}{4}\right)+\left(\frac{1}{5} +\frac{i}{6}\right)+... .

♦ а)  \frac{1}{10}+\frac{2}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{4}{10000}+....=  =\frac{1}{10}+\frac{2}{10^{2}}+\frac{3}{10^{3}}+\frac{4}{10^{4}}+....

Отже, a_{n}=\frac{n}{10^{n}} .

б) \frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{8}+...=

\frac{2-1}{2\cdot 1}-\frac{4-1}{2\cdot 2}+\frac{6-1}{2\cdot 3}-\frac{8-1}{2\cdot 4}+...=

= \frac{2\cdot 1-1}{2\cdot 1}-\frac{2\cdot 2-1}{2\cdot 2}+\frac{2\cdot 3-1}{2\cdot 3}-\frac{2\cdot 4-1}{2\cdot 4}+...

Отже,   a_{n}=\left(-1 \right)^{n+1}\frac{2n-1}{2n}.

в) sin\alpha +\frac{sin2\alpha}{3}+\frac{sin3\alpha}{5}+\frac{sin4\alpha}{7}+...=

 =\frac{sin1\alpha}{2\cdot 1-1} +\frac{sin2\alpha}{2\cdot 2-1}+\frac{sin3\alpha}{2\cdot 3-1}+\frac{sin4\alpha}{2\cdot 4-1}+...

Отже,  a_{n}=\frac{sin (n\alpha) }{2n-1}.

г)  \left(1 +\frac{i}{2}\right)+\left(\frac{1}{3} +\frac{i}{4}\right)+\left(\frac{1}{5} +\frac{i}{6}\right)+...=

=\left(\frac{1}{2\cdot 1-1} +\frac{i}{2\cdot 1}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot 2-1} +\frac{i}{2\cdot 2}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot 3-1} +\frac{i}{2\cdot 3}\right)+...

Отже,   a_{n}=\frac{1}{2n-1}+\frac{i}{2n}.♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *