Задача 20 (Інтегрування дробово-раціональних виразів)

Знайти інтеграл  \int \frac{3 - 9x}{x^{3} - 1}dx

♦  \int \frac{3 - 9x}{x^{3} - 1}dx = \int \frac{3 - 9x}{(x-1)(x^{2} +x + 1)} dx =

  \frac{3 - 9x}{(x-1)(x^{2} +x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^{2} + x + 1} =

 = \frac{Ax^{2} + Ax + A + Bx^{2} + Cx - Bx - C}{(x-1)(x^{2} +x + 1)} =

 = \frac{(A+B) x^{2} + (A - B + C) x + (A - C)}{(x-1)(x^{2} +x + 1)}

  \left\{\begin{matrix} A+B=0, \\ A - B + C = - 9, \\ A - C = 3; \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} B = - A, \\ A + A + A - 3 = - 9,\\ C = A - 3; \end{matrix}\right. \Rightarrow

  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} B = -A, \\ 3A = - 6, \\ C = A - 3; \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} B = - A,\\ A = - 2, \\ C = A - 3; \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} B = 2, \\ A = -2, \\ C = -5. \end{matrix}\right.

 = \int \frac{ -2 dx}{x-1} + \int \frac{2x - 5}{ x^{2} + x + 1} dx =

 = -2 ln \left|x-1 \right| + \int \frac{\left(2x+1 \right)dx}{x^{2} + x + 1} - 6 \int \frac{dx}{x^{2} + x + 1} =

 = -2 ln \left|x-1 \right| + ln \left|x^{2} + x + 1 \right| - 6 \int \frac{dx}{\left(x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{4}} =

 = -2 ln \left|x - 1 \right| + ln \left|x^{2} + x + 1 \right| - 6 \int \frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}} =

 = -2 ln \left|x-1 \right| + ln \left|x^{2} + x + 1 \right| - 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} arctg \frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} + C =

 = -2 ln \left|x-1 \right| + ln \left|x^{2} + x + 1 \right| - 3 \sqrt{3} arctg \frac{2x+1}{\sqrt{2}} + C  

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *