Задача 24 (Інтегрування тригонометричних виразів)

Обчислити інтеграл  \int \frac{dx}{5-cosx} .

♦  \int \frac{dx}{5-cosx}=\begin{vmatrix} tx\frac{x}{2}=t\\ cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\ -sinxdx=\frac{-2t\left(1+t^{2} \right)-2t\left(1-t^{2} \right)}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}dt\\ -sinxdx=\frac{-2t-2t^{3}-2t+2t^{3}}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}dt\\ -sinxdx=\frac{-4t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}dt\\ dx=\frac{-4t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}:\left(-\frac{2t}{1+t^{2}} \right)dt\\ dx=\frac{-4t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}\cdot \frac{1+t^{2}}{-2t}dt\\ dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt \end{vmatrix}

 =\int \frac{\frac{2}{1+t^{2}}}{5-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}dt=\int \frac{\frac{2}{1+t^{2}}}{\frac{5+5t^{2}-1+t^{2}}{1+t^{2}}}dt=

 =\int \frac{2}{1+t^{2}}\cdot \frac{1+t^{2}}{4+6t^{2}}dt=\int \frac{dt}{2+3t^{2}}=

 =\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t^{2}+\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}arctg\frac{t}{\sqrt{\frac{2}{3}}}+C=

 =\frac{1}{\sqrt{6}}arctg\frac{\sqrt{3}cosx}{\sqrt{2}}+C .♦ 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *