Задача 25 (Інтегрування тригонометричних виразів)

Обчислити інтеграл  \int tg^{4}xdx .

 \int tg^{4}xdx=\int \left(\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x} \right)^{2}dx=\int \frac{\left(1-cos^{2} x\right)^{2}}{cos^{4}x}dx=

 =\int \frac{1-2cos^{2}x+cos^{4}x}{cos^{4}x}dx=\int \frac{dx}{cos^{4}x}-2\int \frac{dx}{cos^{2}x}+\int dx=

 =\int \frac{dx}{\frac{1+cos^{2}2x}{2}}-2\int \frac{dx}{cos^{2}x}+\int dx=

 =2\int \frac{dx}{1+cos^{2}2x}-2tgx+x+C=

 \int \frac{dx}{1+cos^{2}2x}=\int \frac{dx}{1+\frac{cos4x+1}{2}}=2\int \frac{dx}{3+cos4x}=

 \begin{vmatrix} tg2x=t\\ cos4x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\ -4sin4xdx=\frac{-2t\left(1+t^{2} \right)-\left(1-t^{2} \right)\cdot 2t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}dt\\ -4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}dx=\frac{-4t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}dt\\ dx=-\frac{4t}{\left(1+t^{2} \right)^{2}}\cdot \frac{1+t^{2}}{-8t}dt\\ dx=\frac{1}{2\left(1+t^{2} \right)}dt \end{vmatrix}

 =\int \frac{\frac{1}{1+t^{2}}}{3+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}dt=\int \frac{1}{1+t^{2}}:\frac{3+3t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}}dt=

 =\int \frac{dt}{4+2t^{2}}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{2}+2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{t}{\sqrt{2}}=

 =\frac{1}{2\sqrt{2}}arctg\frac{tg2x}{\sqrt{2}}  .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *