Задача 26 (Інтегрування ірраціональних функцій)

Знайти інтеграл  \int \frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}dx .

♦  \int \frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}dx=\int \frac{-(x+2)+10}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}dx=

 =-\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}dx+10\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}=

 =-\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x+8}}dx+10\int \frac{dx}{\sqrt{\left(x+2 \right)^{2}+4}}=

 =\begin{vmatrix} x^{2}+4x+8=t\\ (2x+4)dx=dt\\ 2(x+2)dx=dt\\ (x+2)dx=\frac{dt}{2} \end{vmatrix}=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}+10\int \frac{dx}{\sqrt{\left(x+2 \right)^{2}+4}}=

 =-\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}dt+10ln\left|x+2\sqrt{\left(x+2 \right)^{2}+4} \right|+C=

 =-\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+10ln\left|x+2\sqrt{\left(x+2 \right)^{2}+4} \right|+C=

 =-\sqrt{x^{2}+4x+8}+10ln\left|x+2\sqrt{\left(x+2 \right)^{2}+4} \right|+C .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *