Задача (Задача Коші)

Розв’язати задачу Коші
 y'+4y=2(\zeta (t)+\zeta (t-1)),\; y(0)=0. .

♦ Нехай y(t) – шуканий частинний розв’язок, Y(t) – його зображення.

 y'(t)=pY(p)-0=pY(p),

 \zeta (t)+\zeta (t-1)=\frac{1}{p}+\frac{e^{-p}}{p}=\frac{1+e^{-p}}{p},

 pY(p)+4Y(p)=\frac{1+e^{-p}}{p},

 (p+4)Y(p)=\frac{1+e^{-p}}{p},

 Y(p)=\frac{1+e^{-p}}{p(p+4)}=\frac{1}{p(p+4)}+\frac{e^{-p}}{p}\cdot \frac{1}{p+4},

 \frac{1}{p(p+4)}=\frac{A}{p}+\frac{B}{p+4}=\frac{Ap+4A+Bp}{p(p+4)}=\frac{(A+B)p+4A}{p(p+4)}.

 \begin{cases}A+B=0, \ 4A=1, \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}B=-\frac{1}{4}, \ A=\frac{1}{4};\end{cases}

 Y(p)=-\frac{1}{4p}+\frac{1}{4(p+4)}-\frac{e^{-p}}{p}\cdot \frac{1}{p+4},

 y(t)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}e^{-4t}-\zeta (t-1)\cdot e^{-4t}=

 =-\frac{1}{4}+(\frac{1}{4}-\zeta (t-1))e^{-4t}

Отже,  y(t)=-\frac{1}{4}+(\frac{1}{4}-\zeta (t-1))e^{-4t} .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *