Задача 4 (Дивергенція та ротор векторного поля)

Визначити дивергенцію та ротор векторного поля  \vec{f}=x^{2}\vec{i}+y^{2}\vec{j}-z^{2}\vec{k} .

Маємо 

 P=x^{2},\; Q=y^{2},\; R=-z^{2};\; P_{x}'=2x,\; Q_{y}'=2y\; i\; R_{z}'=-2z . Тоді за формулою  div\vec{f}(M)=\frac{\partial P(M)}{\partial x}+\frac{\partial Q(M)}{\partial y}+\frac{\partial R(M)}{\partial z} дістаємо  div\vec{f}=2x+2y-2z=2(x+y-z) .

Оскільки  R_{y}'=Q_{z}'=P_{z}'=R_{x}'=Q_{x}'=P_{y}'=0 , то, згідно з формулою  \vec{rot}\vec{f}(M)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} &\frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ P(M) & Q(M) & R(M) \end{vmatrix}=

 =(\frac{\partial R(M)}{\partial y}-\frac{\partial Q(M)}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial P(M)}{\partial z}-\frac{\partial R(M)}{\partial x})\vec{j}+

 +(\frac{\partial Q(M)}{\partial x}-\frac{\partial P(M)}{\partial y})\vec{k}  \vec{rot}\vec{f}=0 , тобто задане поле є безвихровим.♦ 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *