Задача (Економічна задача)

У цеху підприємства виготовляють дві моделі жіночого одягу. На виготовлення першої моделі витрачають 2 м тканини, на виготовлення другої – 3 м. При цьому витрати робочого часу на виробництво цих моделей становлять відповідно 4 та 5 год. Відомо, що тижневий запас тканини – 100 м, а робочий час обмежено 190 год.

Скласти такий план тижневого виготовлення цих моделей одягу, при якому повністю використовують ресурси (тканину і робочий час).

♦ Позначимо через x1 та  x2 кількість одиниць тижневого випуску першої та другої моделей відповідно. За умовою задачі складемо систему лінійних рівнянь:

 \left\{\begin{matrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">2x_{1}+3x_{2}=100, \\</span> <span style="font-size: 14pt;">4x_{1}+5x_{2}=190.\end{matrix}\right.

Розв’яжемо систему матричним способом. Запишемо її у матричному вигляді: AX=B , де

A=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">2 &3 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">4 &5</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}, \; B=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">100\\</span> <span style="font-size: 14pt;">190</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">x_{1}\\</span> <span style="font-size: 14pt;">x_{2}</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix} .

Для матриці А знайдемо обернену матрицю А-1. Оскільки: 

\left|A \right|=\begin{vmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">2 &3 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">4& 5</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{vmatrix}=10-12=-2, \; A_{11}=5,\; A_{12}=-4, A_{21}=-3, A_{22}=2 , то

A^{-1}=\frac{1}{\left|A \right|}\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">A_{11} & A_{21} \\</span> <span style="font-size: 14pt;">A_{12} & A_{22}</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}= - \frac{1}{2}\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">5 &-3 \\</span> <span style="font-size: 14pt;">-4& 2</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-\frac{5}{2} &\frac{3}{2} \\</span> <span style="font-size: 14pt;">2 &-1</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}.

 X=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-\frac{5}{2} &\frac{3}{2} \\</span> <span style="font-size: 14pt;">2 &-1</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">100\\</span> <span style="font-size: 14pt;">190</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">-250+275\\</span> <span style="font-size: 14pt;">200-190</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}</span> <span style="font-size: 14pt;">25\\</span> <span style="font-size: 14pt;">10</span> <span style="font-size: 14pt;">\end{pmatrix}

\Rightarrow x_{1}=25, \; x_{2}=10

Отже, для повного використання ресурсів щотижня треба виготовляти 25 одиниць першої та 10 одиниць другої моделей одягу. ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *