Задача 7 (Умовний екстремум)

Знайти умовний екстремум функції z = x + 2y,

якщо х2 + у2 =5.

♦  \varphi (x;y)=x^{2}+y^{2}-5

 x^{2}+y^{2}-5=0

 L(x;y)=L_{\lambda }(x;y)=f(x;y)+\lambda \varphi (x;y)=

 =x+2y+\lambda (x^{2}+y^{2}-5)

 \left\{\begin{matrix} L_{x}'=1+\lambda \cdot 2x=0,\\ L_{y}'=2+\lambda \cdot 2y=0,\\ L_{\lambda }'=x^{2}+y^{2}-5=0; \end{matrix}\right.

 \left\{\begin{matrix} 1+2\lambda x=0,\\ 2+2\lambda y=0,\\ x^{2}+y^{2}-5=0; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2\lambda },\\ y=-\frac{2}{2\lambda },\\ \left(-\frac{1}{2\lambda } \right)^{2}+\left(-\frac{2}{2\lambda } \right)^{2}-5=0,\Rightarrow \end{matrix}\right.

 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2\lambda },\\ y=-\frac{2}{2\lambda },\\ \frac{1}{4\lambda^{2} }+\frac{4}{4\lambda^{2} } -5=0,\Rightarrow \end{matrix}\right.

 \frac{5}{4\lambda ^{2}}=5\Rightarrow 4\lambda ^{2}=1\Rightarrow \lambda ^{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow \lambda =\pm \frac{1}{2}

 \left.\begin{matrix} \lambda _{1}=-\frac{1}{2}, \; x=1,\; y=2\; (1;2)\\ \lambda _{2}=\frac{1}{2},\; x=-1,\; y=-2\; (-1;-2) \end{matrix}\right\}  – стаціонарні точки, що відповідають параметрам λ1 та λ2.

 L_{xx}''=2\lambda, \; L_{yy}''=2\lambda, \; L_{xy}''=0

 d^{2}L(x;y)=L_{xx}''dx^{2}+2L_{xy}''dxdy+L_{yy}''dy^{2}=

 =2\lambda (dx^{2}+dy^{2})

 d^{2}L(x_{1};y_{1})=-(dx^{2}+dy^{2})

 d^{2}L(x_{2};y_{2})=dx^{2}+dy^{2}

 d\varphi (x;y)=2xdx+2ydy

 d\varphi (x_{1};y_{1})=2dx+4dy=0\Rightarrow dy=-\frac{1}{2}dx

 d\varphi (x_{2};y_{2})=-2dx-4dy=0\Rightarrow

 \Rightarrow dx=-2dy\Rightarrow dy=-\frac{1}{2}dx

 d^{2}L(x_{1};y_{1})=-(dx^{2}+(-\frac{1}{2}dx)^{2})=

 =-(dx^{2}+\frac{1}{4}dx^{2})=-\frac{5}{4}dx^{2}<0  в т. (1;2)

 d^{2}L(x_{2};y_{2})=dx^{2}+(-\frac{1}{2}dx)^{2}=

 =dx^{2}+\frac{1}{4}dx^{2}=\frac{5}{4}dx^{2}>0  в т. (-1; -2).

Отже, функція має умовні екстремуми.

При чому 

 f_{max}=f(1;2)=1+4=5

 f_{min}=f(-1;-2)=-1-4=-5   .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *