Задача 8 (Дослідження ряду на збіжність)

Дослідити ряд на збіжність  \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{3^{n}\sqrt{n}}{5^{n}}} .

♦ Дослідимо ряд за ознакою Д’Аламбера: 

 a_{n}=\frac{3^{n}\sqrt{n}}{5^{n}},

 a_{n+1}=\frac{3^{n+1}\sqrt{n+1}}{5^{n+1}}.

 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3^{n+1}\sqrt{n+1}}{5^{n+1}}\cdot \frac{5^{n}}{3^{n}\sqrt{n}}=

 =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}\sqrt{n+1}}{3^{n}\cdot 5^{n}\cdot 5\sqrt{n}}=\frac{3}{5}\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{\frac{n+1}{n}}=

 =\frac{3}{5}\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=\frac{3}{5}\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{1}=\frac{3}{5}<1

Отже, ряд збіжний. ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *