Задача

Обчислити границю

  \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2x}{2x+1} \right)^{5x} .

♦  \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2x}{2x+1} \right)^{5x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2x+1-1}{2x+1} \right)^{5x}=

 =\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{-2x-1} \right)^{5x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\left( 1+\frac{1}{-2x-1}\right)^{-2x-1}\right)^{\frac{5x}{-2x-1}}= .

Враховуючи, що  \lim_{x\rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{-2x-1}\right)^{-2x-1}=e (друга важлива границя) та  \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x}{-2x-1}=

 =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x}{x\left(-2-\frac{1}{x} \right)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5}{-2-\frac{1}{x}}=-\frac{5}{2}

 =e^{-\frac{5}{2}}=\frac{1}{e\frac{5}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e^{5}}} .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *