Задача (Інтегральне рівняння)

Розв’язати інтегральне рівняння

 y(x)=x-\int_{0}^{x}{e^{x-t}y(t)dt} .

 y(x)=x-\int_{0}^{x}{e^{x-t}y(t)dt} ,

 y(x)=x-\int_{0}^{x}{e^{x}\cdot e^{-t}y(t)dt},

 K(x,t)=e^{x}\cdot e^{-t},

 U(x)=\int_{0}^{x}{e^{-t}y(t)dt},

 U'(x)=e^{-x}y(x),

 U'+U=xe^{-x},\; U(0)=0,

 U=mn,\; U'=m'n+mn',

 m'n+mn'+mn=xe^{-x},

 m'n+m(n'+n)=xe^{-x},

 n'+n=0,

 \frac{dn}{dx}=-n\; \Rightarrow \frac{dn}{n}=-dx\Rightarrow

 \Rightarrow \int \frac{dn}{n}=\; \int -dx\Rightarrow ln|n|=-x,\; n=e^{-x},

 m'\cdot e^{-x}=x\cdot e^{-x},

 \frac{dm}{dx}=x,

 dm=xdx\Rightarrow \int dm=\int xdx\Rightarrow m=\frac{x^{2}}{2},

 U(x)=\frac{x^{2}}{2}e^{-x},

 y(x)=x-\frac{x^{2}}{2}e^{x}\cdot e^{-x}=x-\frac{x^{2}}{2}.

Відповідь:  y(x)=x-\frac{x^{2}}{2} . ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *