Задача 8 (Підстановка Ейлера)

Обчислити інтеграл  \int_{0}^{1}{x^{3}\sqrt{4+5x^{4}}dx}

♦   \int_{0}^{1}{x^{3}\sqrt{4+5x^{4}}dx}=\int_{0}^{1}{x^{3}(4+5x^{4})^{\frac{1}{2}}}dx=\begin{vmatrix} \frac{3+1}{4}=1\in Z\\ 4+5x^{4}=t^{2}\\ 20x^{3}dx=2tdt\\ x^{3}dx=\frac{tdt}{10} \end{vmatrix}=

 =\int_{0}^{1}{\frac{\sqrt{t^{2}}\cdot tdt}{10}}=\frac{1}{10}\int_{0}^{1}{t^{2}dt}=\frac{1}{10}\cdot \frac{t^{3}}{3}|_{0}^{1}=

 =\frac{\sqrt{4+5x^{3}}}{30}|_{0}^{1}=\frac{\sqrt{4+5\cdot 1}^{3}}{30}-\frac{\sqrt{4+5\cdot 0}^{3}}{30}=

 =\frac{\sqrt{9}^{3}}{30}-\frac{\sqrt{4}^{3}}{30}=\frac{3^{3}}{30}-\frac{2^{3}}{30}=\frac{27-8}{30}=\frac{19}{30}  ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *