Задача (Площа трикутника, побудованого на векторах)

Знайти площу трикутника, побудованого на векторах

 \vec{a}(1;2;-1) ,  \vec{b}(3;-1;-2) як на сторонах.

Площу трикутника можна визначити через векторний добуток векторів, на яких він побудований:

 S_{\Delta }=\frac{1}{2}|\vec{a}\times \vec{b}|=
 =|\begin{vmatrix}</span><span style="font-size: 14pt;">a_{y} &a_{z} \\ </span><span style="font-size: 14pt;">b_{y} & b_{z}</span><span style="font-size: 14pt;">\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}</span><span style="font-size: 14pt;">a_{x} &a_{z} \\ </span><span style="font-size: 14pt;">b_{x} & b_{z}</span><span style="font-size: 14pt;">\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}</span><span style="font-size: 14pt;">a_{x} &a_{y} \\ </span><span style="font-size: 14pt;">b_{x} & b_{y}</span><span style="font-size: 14pt;">\end{vmatrix}\vec{k}|=
 =|\begin{vmatrix}</span><span style="font-size: 14pt;">2 &-1 \\ </span><span style="font-size: 14pt;">-1 &-2 </span><span style="font-size: 14pt;">\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}</span><span style="font-size: 14pt;">1 & -1\\ </span><span style="font-size: 14pt;">3 & -2</span><span style="font-size: 14pt;">\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}</span><span style="font-size: 14pt;">1 &2 \\ </span><span style="font-size: 14pt;">3 & -1</span><span style="font-size: 14pt;">\end{vmatrix}\vec{k}|=
 =|\left(-4-1 \right)\vec{i}-\left(-2+3 \right)\vec{j}+\left(-1-6 \right)\vec{k}|=
 =|-5\vec{i}-\vec{j}-7\vec{k}|=\sqrt{\left(-5 \right)^{2}+1^{2}+\left(-7 \right)^{2}}=
 =\sqrt{25+1+49}=\sqrt{75}=5\sqrt{5} (кв. од.)

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *