Задача 9 (Невизначений інтеграл)

Обчислити інтеграл  \int \frac{dx}{3x^{2}-8x-3} .

♦  \int \frac{dx}{3x^{2}-8x-3}=\begin{vmatrix} 3x^{2}-8x-3=0\\ D=64+4\cdot 3\cdot 3=64+36=100\\ x_{1}=\frac{8+10}{6}=3\\ x_{2}=\frac{8-10}{6}=-\frac{1}{3}\\ 3x^{2}-8x-3=3(x-3)(x+\frac{1}{3}) \end{vmatrix}=

 =\int \frac{dx}{(x-3)(x+\frac{1}{3})}=\frac{1}{3}\int \frac{dx}{(x-3)(x+\frac{1}{3})}=

 \frac{1}{(x-3)(x+\frac{1}{3})}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+\frac{1}{3}}=

 =\frac{Ax+\frac{1}{3}A+Bx-3B}{(x-3)(x+\frac{1}{3})}=\frac{(A+B)x+(\frac{1}{3}A-3B)}{(x-3)(x+\frac{1}{3})}

 \left\{\begin{matrix} A+B=0,\\ \frac{1}{3}A-3B=1; \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} A=-B,\\ -\frac{B}{3}-3B=1; \end{matrix}\right.\Rightarrow

 -\frac{B}{3}-3B=1, -B-9B=3, -10B=3, B=-\frac{3}{10};\Rightarrow A=\frac{3}{10}, B=-\frac{3}{10}.

 =\frac{1}{3}\left(\frac{3}{10}\int \frac{dx}{x-3}-\frac{3}{10}\int \frac{dx}{x+\frac{1}{3}} \right)=

 =\frac{1}{10}ln\left|x-3 \right|-\frac{1}{10}ln\left|x+\frac{1}{3} \right|+C=

 =\frac{1}{10}ln\left|\frac{x-3}{x+\frac{1}{3}} \right|+C  ♦.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *