Задача 9 (Обчислення площі фігури, заданої параметрично)

Знайти площу фігури, обмеженої лініями  \left\{\begin{matrix} x=2(t-sint);\\ y=2(1-cost), \end{matrix}\right.\; y=3,\; y\geq 3,\; 0\leq x\leq \pi

 2(1-cost)=3\Rightarrow 1-cost=\frac{3}{2}

 -cost=\frac{1}{2}

 cost=-\frac{1}{2}

 t=\frac{2\pi }{3}

Задача 9 (Обчислення площі фігури, заданої параметрично)

 S=\int_{\alpha }^{\beta }{y(t)\left|x'(t) \right|dt}=

 = \int_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{2(1-cost)(2-2cost)dt}=

 =4\int_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{(1-cost)(1-cost)dt}=

 =4\int_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{(1-cos^{2}t)dt}=4\int_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{sin^{2}tdt}=

 =4\int_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{\frac{1-cos2t}{2}dt}=2\int_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{\left(1-cos2t \right)dt}=

 =2\left(t-\frac{sin2t}{2} \right)|_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }=

 =2\left(\pi -\frac{sin2\pi }{2} -\frac{2\pi }{3}+\frac{sin\frac{4\pi }{3}}{2}\right)=

 =2\left(\pi -0-\frac{2\pi }{3}+\frac{sin\frac{\pi }{3}}{2} \right)=

 =2\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)\approx 1,06 (кв. од.) 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *