Задача 9 (Розклад на елементарні дроби)

Обчислити інтеграл  \int_{0}^{1}{\frac{x^{2}dx}{\left(1 + x\right)^{4}}}

♦  \int_{0}^{1}{\frac{x^{2}dx}{\left(1 + x\right)^{4}}}=

 \frac{x^{2}}{\left(1+x \right)^{4}}=\frac{A}{\left(1+x \right)^{4}}+\frac{B}{\left(1+x \right)^{3}}+\frac{C}{\left(1+x \right)^{2}}+\frac{D}{\left(1+x \right)}=

 =\frac{A+B+Bx+C+2Cx+Cx^{2}+D+3Dx+3Dx^{2}+Dx^{3}}{\left(1+x \right)^{4}}=

 =\frac{Dx^{3}+\left(C+3D \right)x^{2}+\left(B+2C+3D \right)x+\left(A+B+C+D \right)}{\left(1+x \right)^{4}}

 \left\{\begin{matrix} D=0,\\ C+3D=1,\\ B+2C+3D=0,\\ A+B+C+D=0; \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} D=0,\\ C=1,\\ B+2+0=0,\\ A+B+1+0=0; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} D=0,\\ C=1,\\ B=-2,\\ A=1. \end{matrix}\right.

 \int_{0}^{1}{\frac{dx}{\left(1+x \right)^{4}}}-2\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\left(1+x \right)^{3}}}+\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\left(1+x \right)^{2}}}=

 =\left(\frac{\left(1+x \right)^{5}}{5} -\frac{2\left(1+x \right)^{4}}{4}+\frac{\left(1+x \right)^{3}}{3}\right)|_{0}^{1}=

 =\frac{\left(1+1 \right)^{5}}{5}-\frac{2\left(1+1 \right)^{4}}{4}+\frac{\left(1+1 \right)^{3}}{3}-\frac{\left(1+0 \right)^{5}}{5}+\frac{2\left(1+0 \right)^{4}}{4}-\frac{\left(1+0 \right)^{3}}{3}=

 =\frac{32}{5}-\frac{32}{4}+\frac{8}{3}-\frac{1}{5}+\frac{2}{4}-\frac{1}{3}=

 =\frac{31}{5}-\frac{30}{4}+\frac{7}{3}=\frac{186-225+70}{30}=\frac{256-225}{30}=\frac{31}{30}=1\frac{1}{30}

     ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *