Числові характеристики розподілів випадкових величин

Приклад

Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х = х_і	-3	-1	1	2	3
P(X=x_i) = p_i	0,1	0,2	0,35	p	0,1

Знайти F(x). Побудувати її графік. Обчислити σ(х), М(х).

♦ Побудуємо спочатку функцію розподілу F(x). Відразу зауважимо, що, оскільки, функція розподілу характеризує ймовірність, то вона може набувати значень лише з відрізка [0; 1].

Тепер знайдемо значення функції для різних значень х_і.

Для х ≤ -3, F(x) = Р(X < -3) =0.

Для -3 < х≤ -1, F(x) = Р(X < -1) = P(X = -3) = 0,1.

Для -1 < х≤ 1, F(x) = Р(X < 1) = P(X = -3) + P(X = -1)= 0,1+0,2=0,3.

Для 1 < х≤ 2, F(x) = Р(X < 2) = P(X = -3) + P(X = -1) + P(X =1) = 0,1+0,2 + 0,35 = 0,65.

Для 2 < х≤ 3, F(x) = Р(X < 3) = P(X = -3) + P(X = -1) + P(X =1) + P(X =2) = 0,1+0,2 + 0,35 + p = 0,65 + p.

Для х > 3, F(x) = Р(X > 2) = P(X = -3) + P(X = -1) + P(X =1) + P(X =2) + P(X =3) = 0,1+0,2 + 0,35 + p + 0,1 = 0,65 + p + 0,1 = 0,75 + p.

Користуючись властивістю, функції розподілу F(x) ∈ [0; 1], знайдемо значення р:

0,75 + р =1 ⇒ р = 1- 0,75 = 0,25. Отже, запишемо функції розподілу:

$F(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x\leq -3,\\ 0,1, -3<x\leq-1, \\ 0,3, -1<x\leq1,\\ 0,65, 1<x\leq2,\\ 0,9, 2<x\leq3,\\ 1,x>3. \end{matrix}\right.$

Побудуємо графік знайденої функції:

Знайдемо математичне сподівання за формулою $M(X)=\sum_{i}p_{i}\cdot x_{i}$ .

$M(X)=-3\cdot 0,1+(-1)\cdot 0,2+1\cdot 0,35+2\cdot 0,25+3\cdot 0,1=$

$=-0,3-0,2+0,35+0,5+0,3=0,65$ .

Тепер знайдемо дисперсію: $D(X)=\sum_{i}(x_{i}-M(X))^{2}$ .

$D(X)=(-3-0,65)^{2}+(-1-0,65)^{2}+(1-0,65)^{2}+(2-0,65)^{2}+(3-0,65)^{2}=$

$=(-3,65)^{2}+(-1,65)^{2}+0,35^{2}+1,35^{2}+2,35^{2}=$

$=13,3225+2,7225+0,1225+1,8225+5,5225=23,5125$

Маючи дисперсію, знаходимо середнє квадратичне відхилення:

$\sigma (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{23,5125}\approx 4,85$ .♦

Приклад

Проводиться розіграш 1000 білетів лотереї, серед яких 100 білетів дають виграш 1 грн., 10 білетів – 10 грн., 1 білет – 100 грн. Який виграш у середньому припадає на один білет, вартість якого 1 грн.?

♦ Якщо випадкова величина Х – можливий виграш за лотерейним білетом, то вона може набувати значень 0, 1, 10 і 100. При цьому

$P (X=1) = \frac{100}{1000}=0,1$ ;

$P (X=10) = \frac{10}{1000}=0,01$ ;

$P (X=100) = \frac{1}{1000}=0,001$ ;

$P (X=0) = \frac{1000-(100+10+1)}{1000}=\frac{889}{1000}=0,889$ .

Запишемо розподіл випадкової величини Х:

Середнє значення виграшу – це математичне сподівання випадкової величини Х: М (Х) = 0 · 0,889 + 1 · 0,1 + 10 · 0,01 + 100 · 0,001 = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3 (грн.). Отже, справжня вартість білета лотереї становить 30 коп. ♦

Приклад

Обчислити математичне сподівання і дисперсію числа бракованих виробів у партії з 2000 виробів, якщо кожен виріб може бути бракованим з ймовірністю 0,01.

♦ Нехай випадкова величина Х – це кількість бракованих виробів у партії. Оскільки р = 0,01 – мале число, n = 2000 – велике, то можна вважати, що величина Х має розподіл Пуассона. Тому за формулами $M(X)=D(X)=a=np,\; \sigma =\sqrt{np}$ дістаємо:

$M(X) = D(X) = np = 2000\cdot 0,01=20$ ,

$\sigma =\sqrt{np}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,47$ .♦

Приклад

Випадкову величину Х задано функцією розподілу

$F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\ ax, &0\leq x\leq 3, \\ 1, & x>3. \end{cases}$ .

Визначити значення параметра a та числові характеристики випадкової величини Х.

♦ Визначимо щільність розподілу

$p(x) = F'(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\ a, &0\leq x\leq 3, \\ 0, & x>3. \end{cases}$ .

Скориставшись властивісю щільності, знайдемо значення параметра а: $I=\int_{-\propto }^{+\propto }{p(x)dx}=\int_{0}^{3}{adx}=ax|_{0}^{3}=3a\Rightarrow a=\frac{1}{3}$ .

Оскільки $p(x)=\begin{cases} 0, & x<0, x>3,\\ \frac{1}{3}, & 0\leq x\leq 3, \end{cases}$ , то задана випадкова величина має рівномірний розподіл. Тому за формулами

$M(X)=\frac{a+b}{2},\; D(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12},\sigma =\frac{b-a}{2\sqrt{3}}$

маємо: $M(X)=\frac{0+3}{2}=1,5$ ;

$D(X)=\frac{(3-0)^{2}}{12}=\frac{9}{12}=0,75$ ;

$\sigma =\sqrt{0,75}\approx 0,85$ .♦

Приклад

Обчислити М(Х), D(X), σ(Х), якщо:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x\leq 1,\\ a(2x-1), 1<x\leq 2,\\ 0, x>2. \end{matrix}\right.$ .

♦ Знайдемо спочатку значення параметра а. Для цього скористаємося властивістю щільності розподілу $I=\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$

$I=\int_{1}^{2}a(2x-1)dx=(\frac{2ax^{2}}{2}-ax)|_{1}^{2}=(ax^{2}-ax)|_{1}^{2}=$

$=4a-2a-a+a=2a = 1\Rightarrow a=\frac{1}{2}$ .

Як обчислити визначений інтеграл можна пригадати, перейшовши за посиланням.

Скориставшись формулою $M(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=1$ , обчислимо математичне сподівання:

$M(X)=\int_{1}^{2}\frac{1}{2}x(2x-1)dx=\int_{1}^{2}(x^{2}-\frac{1}{2}x)dx=$

$=(\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{2}}{2})|_{1}^{2}=\frac{8}{3}-\frac{4}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{3}-\frac{3}{4}=\frac{28-9}{12}=\frac{19}{12}$ .

Тепер обчислимо дисперсію: $D(X)=M(X^{2})-(M(X))^{2}=\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx-(M(X))^{2}=$

$=\int_{1}^{2}x^{2}\cdot \frac{1}{2}(2x-1)dx-(\frac{19}{12})^{2}=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}(2x^{3}-x^{2})dx-\frac{361}{144}=$

$=\frac{1}{2}(\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{3}}{3})|_{1}^{2}-\frac{361}{144}=$

$=\frac{1}{2}(8-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})-\frac{361}{144} =\frac{31}{12}-\frac{361}{144}=\frac{372-361}{144}=\frac{11}{144}$

Обчислимо середнє квадратичне відхилення:

$\sigma (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{11}{144}}=\frac{\sqrt{11}}{12}$ ♦

Приклад

За статистичними данимим річний дохід наелення міста N має нормальний розподіл із середнім значенням 3 тис. грн. та середнім квадратичним відхиленням 1 тис. грн. Записати щільність розподілу річного доходу населення. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний житель міста має дохід:

а) від 2,5 до 4 тис. грн.;

б) менше 6 тис. грн.

♦ Нехай випадкова величини Х визначає річний дохід населення міста. Тоді її математичне сподівання М (Х) = a = 3, а середнє квадратичне відхилення σ = 1. Отже, щільність цього розподілу має вигляд $p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(x-3)^{2}}{2}}$ .

За формулою $P(\alpha \leq X\leq \beta )=\Phi (\frac{\beta -\alpha }{\sigma })-\Phi (\frac{\alpha -a}{\sigma })$ обчислюємо ймовірність того, що навмання вибраний житель має дохід від 2,5 до 4 тис. грн.: Р (2,5 ≤ Х ≤ 4) = Ф (4 – 3) – Ф (2,5 – 3) = Ф (1) + Ф (0,5) ≈ 0,3413 +0,1915 = 0,5328.

Оскільки а = 3, σ = 1, то за правилом трьох сигм дістаємо Р (0 < Х < 6) = Р (|X – 3| < 3) = P (|X – a| < 3σ) ≈ 0,997, тобто практично вірогідним є те, що дохід жителя менше 6 тис. грн. ♦

Приклад

Вважаючи, що ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,5, оцінити за допомогою нерівності Чебишева ймовірність того, що серед 1500 новонароджених буде від 700 до 800 хлопчиків.

♦ Маємо біномний закон розподілу випадкової величини Х – числа хлопчиків серед 1500 новонароджених. Тому числа 700 і 800 – межі допустимих значень випадкової величини – симетричні відносно математичного сподівання, що дорівнює 750, то нерівність 700 < Х < 800 можна замінити еквівалентною їй нерівністю |X – 750| ≤ 50. Використовуючи тепере другу нерівність Чебишева $P(|X-M(X)|\leq \varepsilon )\geq 1-\frac{D(X)}{\varepsilon^{2} }$ при ε = 50, маємо $P(700<X<800)=P(|X-750|\leq 50)\geq 1-\frac{375}{50^{2}}=0.85$ .

Отже, ймовірність шуканої події не менше 0,85. ♦