Цілі вирази

Приклад

Доведіть тотожність:

а) 5b – (6b + a) – (a – 6b) = 5b – 2a;

б) 3a = 1,2 (a -7) – 1,8 (3 – a) + 13,8;

в) $2\frac{1}{3}\left(a+6 \right)-7\frac{2}{3}\left(3-a \right)=7\frac{1}{3}\left(1\frac{1}{2}a-\frac{3}{11} \right)-2\frac{2}{3}\left(\frac{3}{8}a+2\frac{5}{8} \right)$ .

♦ Щоб довести тотожність, потрібно виконати тотожні перетворення в лівій частині або в правій, або в обох частинах одночасно і показати, що ліва частина дорівнює правій.

а) Будемо перетворювати лише ліву частину, а праву залишимо без змін:

5b – (6b + a) – (a – 6b) = 5b – 2a; (розкриємо дужки в лівій частині)

5b – 6b – a – a + 6b = 5b – 2a; (зведемо подібін доданки)

5b – 6b + 6b – a – a = 5b – 2a;

5b – 2a = 5b – 2a.

Отже, тотожність доведено.

б) Перетворимо праву частину тотожності і покажемо, що вона дорівнює лівій.

3a = 1,2 (a -7) – 1,8 (3 – a) + 13,8; (розкриваємо дужки)

3a = 1,2a – 8,4 – 5,4 + 1,8a + 13,8; (зводимо подібні доданки)

3a = 1,2a + 1,8a – 8,4 – 5,4 + 13,8;

3a = 3a.

Отже, тотожність доведено.

в) Перетворимо ліву і праву частину одночасно і покажемо, що вони рівні:

$2\frac{1}{3}\left(a+6 \right)-7\frac{2}{3}\left(3-a \right)=7\frac{1}{3}\left(1\frac{1}{2}a-\frac{3}{11} \right)-2\frac{2}{3}\left(\frac{3}{8}a+2\frac{5}{8} \right)$ ;

(перетворюємо мішані числа в неправильні дроби)

$\frac{7}{3}\left(a+6 \right)-\frac{23}{3}\left(3-a \right)=\frac{22}{3}\left(\frac{3}{2}a-\frac{3}{11} \right)-\frac{8}{3}\left(\frac{3}{8}a +\frac{21}{8}\right)$ ;

(розкриваємо дужки в лівій та правій частинах)

$\frac{7}{3}a+14-23+\frac{23}{3}a=11a-2-a-7$ ;

(виконуємо дії та зводимо подібні доданки)

$10a-9=10a-9$ .

Отже, тотожність доведено.♦

Приклад

Записати одночлен в стандартному вигляді: 2a·3b·7c·5a²·b·c⁵.

♦ Одночлен стандартного виду – це одночлен, у якого є лише один числовий множник, що стоїть попереду, а кожна змінна зустрічається лише один раз. Тому для того, щоб звести одночлен до стандартного виду всі числові множники перемножити, однакові буквенні множники перемножити, додавши їх степені. Тобто: 2a·3b·7c·5a²·b·c⁵= 2·3·7·5·а¹⁺² ·b¹⁺¹·c¹⁺⁵ = 210 a³b²c⁶.♦

Приклад

Знайдіть степені поданих одночленів:

а) х¹⁷у⁵z; б) 4a²b⁶cd; в) -11m⁵nk²; г) -0,21.

♦ Степенем одночлена є сума степенів усіх його буквенних множників. Тому:

а) s = 17 + 5 + 1 = 23; б) s = 2 + 6 +1 + 1 = 10;

в) s = 5 + 1 + 2 = 8; г) s = 0. ♦

Приклад

Піднести одночлени до степеня:

а) $\left(-1\frac{1}{2}q^{3} \right)^{2}$ ; б) $\left(-1,2 a^{4}d^{3}\right)^{2}$ ;

в) $\left(4x^{n} \right)^{2}$ ; г) $\left(3a^{n}b^{m} \right)^{3}$ .

♦ Для того, щоб піднести одночлен до степеня, потрібно піднести до степеня кожен з його множників.

а) $\left(-1\frac{1}{2}q^{3} \right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}q^{3} \right)^{2}=\left(-\frac{3}{2} \right)^{2}q^{2\cdot 3}=\frac{9}{4}q^{6}=2\frac{1}{4}q^{6}$ ;

б) $\left(-1,2 a^{4}d^{3}\right)^{2}=\left(-1,2 \right)^{2}a^{4\cdot 2}d^{3\cdot 2}=1,44a^{8}d^{6}$ ;

в) $\left(4x^{n} \right)^{2}=4^{2}x^{n\cdot 2}=16x^{2n}$ ;

г) $\left(3a^{n}b^{m} \right)^{3}=3^{3}a^{n\cdot 3}b^{m\cdot 3}=27a^{3n}b^{3m}$ .♦

Приклад

Знайдіть добуток многочленів:

а) $5a^{2}bx \; i\; -7acx^{2}$ ;

б) $10ax^{4},\; -0,1a^{5}\; i\; -0,5a^{2}x^{8}$ ;

в) $-\frac{1}{3}a^{2}bc,\; -15ab^{2}c\; i\; 0,2abc^{2}$ .

♦ Щоб перемножити одночлен на одночлен, необхідно перемножити їх коефіцієнти та відповідні буквенні вирази.

а) $5a^{2}bx \cdot ( -7acx^{2}) = 5\cdot (-7)a^{2+1}bcx^{1+2}=-35a^{3}bcx^{3}$ ;

б) $10ax^{4}\cdot ( -0,1a^{5}) \cdot ( -0,5a^{2}x^{8}) =$

$=10\cdot (-0,1)\cdot (-0,5)a^{1+5+2}x^{4+8}=0,5a^{8}x^{12}$ ;

в) $-\frac{1}{3}a^{2}bc \cdot ( -15ab^{2}c) \cdot 0,2abc^{2}=$

$=-\frac{1}{3}\cdot \left(-15 \right)\cdot 0,2a^{2+1+1}b^{1+2+1}c^{1+1+2}=a^{4}b^{4}c^{4}$ .♦

Приклад

Виконати ділення:

а) $15a^{3}b^{7}c:5abc$ ;

б) $12x^{8}y^{5}z^{3}:24x^{8}yz^{2}$ ;

в) $\frac{1}{8}a^{m-4}b^{n-6}c^{5}:\frac{3}{16}a^{m-6}b^{n-6}c$ .

♦ Для того, щоб поділити одночлен на одночлен потрібно поділити їх коефіцієнти та відповідні буквення вирази. При цьому необхідно пам’ятати, що при ділення степенів їх показники віднімаються.

а) $15a^{3}b^{7}c:5abc=15:5a^{3-1}b^{7-1}c^{1-1}=3a^{2}b^{6}c^{0}=3a^{2}b^{6}$ ;

б) $12x^{8}y^{5}z^{3}:24x^{8}yz^{2}=12:24x^{8-8}y^{5-1}z^{3-2}=0,5x^{0}y^{4}z^{1}=$

$=0,5y^{4}z$ ;

в) $\frac{1}{8}a^{m-4}b^{n-6}c^{5}:\frac{3}{16}a^{m-6}b^{n-6}c=\frac{1}{8}:\frac{3}{16}a^{m-4-(m-6)}b^{n-6-(n-6)}c^{5-1}=$

$=\frac{1}{8}\cdot \frac{16}{3}a^{m-4-m+6}b^{n-6-n+6}c^{4}=\frac{2}{3}a^{2}c^{4}$ .♦

Приклад

Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) х⁵ у (у⁴ + ху⁵ – х²у⁶ + х³у⁷);

б) (2х³ + 3х² – а – а²)· аху;

в) 2х (5х³ – 3х – bx + b³)· b;

г) -xt (x² t² – xt + 3)·p.

♦ У поданих виразах потрібно виконати множення одночленів на многочлени, тобто вирази, що стоять перед дужками перемножити на кожен вираз, що стоїть у дужках, а потім позводити всі подібні доданки.

а) х⁵ у (у⁴ + ху⁵ – х²у⁶ + х³у⁷) = х⁵уу⁴+ х⁵уху⁵ – х⁵ух²у⁶ + х⁵ух³у⁷ = х⁵у⁵ + х⁶у⁶ – х⁷у⁷ + х⁸у⁸;

б) (2х³ + 3х² – а – а²)· аху = 2х³аху + 3х²аху – ааху – а²аху = 2х⁴ау + 3х³ау – а²ху – а³ху;

в) 2х (5х³ – 3х – bx + b³)· b = 2хb (5х³ – 3х – bx + b³) = 2хb·5х³ – 2хb·3х – 2хbbx + 2хbb³= 10х⁴b – 6х²b – 2х²b²+ 2хb⁴;

г) -xt (x² t² – xt + 3)·p = -xtp (x² t² – xt + 3) = -xtpx² t² + xtpxt – xtp·3 = -x³ t³p + x²t²p – 3xtp. ♦

Приклад

Виконайте множення:

а) (x-a)(x-b)(x-c);

б) (x² + x + 1)(x² – x + 1)(x² – 1);

в) (-a + b +c)(a – b + c)(a + b – c);

г) (a³ + a²b + ab² + b³)(a – b);

д) (a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)(a – b);

е) (a⁴ – a³b + a²b² – ab³ + b⁴)(a – b).

♦ Для того щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожен член першого многочлена помножити на кожен член другого, а потім звести подібні доданки.

а) (x – a)(x – b)(x – c) = (xx – ax – xb + ab)(x – c) = (x² – ax – xb + ab)(x – c) = x²x – axx – xb x+ abx – x²c + axc + xbc – abc = x³ – ax² – bx²+ abx – cx² + acx + bcx – abc = x³ – ax² – bx² – cx²+ abx + acx + bcx – abc;

б) (x² + x + 1)(x² – x + 1)(x² – 1) = (x²x² + xx² + 1·x² – x²x – xx – 1·x + x² – x + 1)(x² – 1)= (x⁴ + x³ + x² – x³ – x² – x + x² – x + 1)(x² – 1) = (x⁴ + x² – 2x + 1)(x² – 1) = x⁴x²+ x²x² – 2xx² + 1·x²– x⁴ – x² + 2x – 1 = x⁶+ x⁴ – 2x³ + x²– x⁴ – x² + 2x – 1 = x⁶ – 2x³ + 2x – 1;

в) (-a + b +c)(a – b + c)(a + b – c) = (-aa + ba +ca + ab – bb – cb – ac + bc +cc)(a + b – c) = (-a² + 2ab – b² +c²)(a + b – c) = -a²a + 2aba – b²a +c²a – a²b + 2abb – b²b +c²b + a²c – 2abc + b²c – c²c = -a³ + 2a²b – b²a +c²a – a²b + 2ab² – b³ +c²b + a²c – 2abc + b²c – c³ = -a³ – b³ – c³+ a²b + ab²+ a²c+ ac² + b²c + bc² – 2abc;

г) (a³ + a²b + ab² + b³)(a – b) = a³a + a²ba + ab²a + b³a – a³b – a²bb – ab²b – b³b = a⁴+ a³b + a²b² + ab³– a³b – a²b² – ab³ – b⁴ = a⁴– b⁴;

д) (a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)(a – b) = a⁴a + a³ba + a²b²a + ab³a + b⁴a – a⁴b – a³bb – a²b²b – ab³b – b⁴b = a⁵ + a⁴b + a³b² + a²b³ + b⁴a – a⁴b – a³b² – a²b³ – ab⁴ – b⁵ = a⁵ – b⁵;

е) (a⁴ – a³b + a²b² – ab³ + b⁴)(a – b) = a⁴a – a³ba + a²b²a – ab³a + b⁴a – a⁴b + a³bb – a²b²b + ab³b – b⁴b = a⁵ – a⁴b + a³b² – a²b³ + ab⁴ – a⁴b + a³b² – a²b³ + ab⁴ – b⁵ = a⁵ – 2a⁴b + 2a³b² – 2a²b³ + 2ab⁴– b⁵.♦

Приклад

Розкладіть многочлени на множники:

а) (6a + 20)(6c – 5a) + (3a + 10)(c + 4a);

б) 12a²b² – 6abc + 3ac² – 6a²bc – c + 2ab.

♦ а) Використаємо спосіб винесення спільного множника за дужки. Винесемо в першому доданку з перших дужок спільний множник 2: (6a + 20)(6c – 5a) + (3a + 10)(c + 4a) = 2(3a + 10)(6c – 5a) + (3a + 10)(c + 4a) = (тепер маємо спільний множник 3а+10, виносимо його за дужки) = (3a + 10)(2(6c – 5a) +(c + 4a)) = (розкриваємо внутрішні дужки та зводимо подібні доданки) = (3a + 10)(12c – 10a + c + 4a) = (3a + 10)(13c – 6a).

б) Використовуємо спосіб групування: 12a²b² – 6abc + 3ac² – 6a²bc – c + 2ab = (12a²b² – 6abc) + (3ac² – 6a²bc) – c + 2ab = 6ab (2ab – c) + 3ac (c – 2ab) – (c – 2ab) = -6ab (c – 2ab ) + 3ac (c – 2ab) – (c – 2ab) = (c – 2ab )(- 6ab + 3ac – 1).♦

Приклад

Запишіть суму і різницю многочленів у стандартному вигляді:

а) 15m⁷ – 3m⁴ + m³ i –15m⁷ + 3m⁴ – m³– 5;

б) 8a³ + 3a²b – 5ab² + b³ i 18a³ – 3a²b – 5ab² + b³.

♦ а) (15m⁷ – 3m⁴ + m³) + (-15m⁷ + 3m⁴ – m³– 5) = 15m⁷ – 3m⁴ + m³-15m⁷ + 3m⁴ – m³– 5 = – 5;

(15m⁷ – 3m⁴ + m³) – (-15m⁷ + 3m⁴ – m³– 5) = 15m⁷ – 3m⁴ + m³+ 15m⁷ – 3m⁴ + m³+ 5 = 30m⁷ – 6m⁴ + 2m³+ 5.

б) (8a³ + 3a²b – 5ab² + b³) + (18a³ – 3a²b – 5ab² + b³) = 8a³ + 3a²b – 5ab² + b³+ 18a³ – 3a²b – 5ab² + b³ = 26a³ – 10ab² + 2b³;

(8a³ + 3a²b – 5ab² + b³) – (18a³ – 3a²b – 5ab² + b³) = 8a³ + 3a²b – 5ab² + b³ – 18a³ + 3a²b + 5ab² – b³ = -10a³ + 6a²b.♦

Приклад

Замість * запишіть такий член, щоб одержаний многочлен стандартного вигляду не містив букви а:

а) 3a – 11 – 5a + 17 – 8a + 23 + *;

б) 3ax² – 5x³ + 4x² + 8ax² – 5 + 11x + *;

в) 2x² + 3ax – 9a² + 8x² – 5ax + 8a² + 3x² + 2ax + *.

♦ Спочатку зведемо всі подібні члени многочлена (додамо між собою доданки з однаковою буквенною частиною), а потім замість зірочки запишемо протилежний член до того, який містить букву а. Оскільки протилежні вирази в сумі дають 0, то многочлен не міститиме букви а.

а) 3a – 11 – 5a + 17 – 8a + 23 + * = – 10а + 29 + * = – 10а + 29 + 10а = 29; (* = 10а)

б) 3ax² – 5x³ + 4x² + 8ax² – 5 + 11x + * = 11ах² – 5х³+ 4х²– 5 + 11х + * = 11ах² – 5х³+ 4х²– 5 + 11х – 11ах² = – 5х³+ 4х²– 5 + 11х; (* = –11ах²)

в) 2x² + 3ax – 9a² + 8x² – 5ax + 8a² + 3x² + 2ax + * = 13х² – а² + * = 13х² – а² + а² = 13х² , (* = а²).♦