Цілі вирази

Приклад

Доведіть тотожність:

а) 5b – (6b + a) – (a – 6b) = 5b – 2a;

б) 3a = 1,2 (a -7) – 1,8 (3 – a) + 13,8;

в)  2\frac{1}{3}\left(a+6 \right)-7\frac{2}{3}\left(3-a \right)=7\frac{1}{3}\left(1\frac{1}{2}a-\frac{3}{11} \right)-2\frac{2}{3}\left(\frac{3}{8}a+2\frac{5}{8} \right) .

♦ Щоб довести тотожність, потрібно виконати тотожні перетворення в лівій частині або в правій, або в обох частинах одночасно і показати, що ліва частина дорівнює правій.

а) Будемо перетворювати лише ліву частину, а праву залишимо без змін:

5b – (6b + a) – (a – 6b) = 5b – 2a; (розкриємо дужки в лівій частині)

5b – 6b – a – a + 6b  = 5b – 2a; (зведемо подібін доданки)

5b – 6b + 6b – a – a  = 5b – 2a

5b  – 2a  = 5b – 2a.

Отже, тотожність доведено.

б) Перетворимо праву частину тотожності і покажемо, що вона дорівнює лівій. 

3a = 1,2 (a -7) – 1,8 (3 – a) + 13,8;  (розкриваємо дужки)

3a = 1,2a – 8,4 – 5,4 + 1,8a + 13,8; (зводимо подібні доданки) 

3a = 1,2a + 1,8a – 8,4 – 5,4 + 13,8

3a = 3a.

Отже, тотожність доведено.

в) Перетворимо ліву і праву частину одночасно і покажемо, що вони рівні:

 2\frac{1}{3}\left(a+6 \right)-7\frac{2}{3}\left(3-a \right)=7\frac{1}{3}\left(1\frac{1}{2}a-\frac{3}{11} \right)-2\frac{2}{3}\left(\frac{3}{8}a+2\frac{5}{8} \right) ;

(перетворюємо мішані числа в неправильні дроби)

 \frac{7}{3}\left(a+6 \right)-\frac{23}{3}\left(3-a \right)=\frac{22}{3}\left(\frac{3}{2}a-\frac{3}{11} \right)-\frac{8}{3}\left(\frac{3}{8}a +\frac{21}{8}\right) ;

(розкриваємо дужки в лівій та правій частинах)

 \frac{7}{3}a+14-23+\frac{23}{3}a=11a-2-a-7 ;

(виконуємо дії та зводимо подібні доданки)

 10a-9=10a-9 .

Отже, тотожність доведено.♦

Приклад

Записати одночлен в стандартному вигляді: 2a·3b·7c·5a2·b·c5.

♦ Одночлен стандартного виду – це одночлен, у якого є лише один числовий множник, що стоїть попереду, а кожна змінна зустрічається лише один раз. Тому для того, щоб звести одночлен до стандартного виду всі числові множники перемножити, однакові буквенні множники перемножити, додавши їх степені. Тобто: 2a·3b·7c·5a2·b·c= 2·3·7·5·а1+2 ·b1+1 ·c1+5 = 210 a3b2c6.♦

Приклад

Знайдіть степені поданих одночленів:

а) х17у5z;      б) 4a2b6cd;    в) -11m5nk2;    г) -0,21.

♦ Степенем одночлена є сума степенів усіх його буквенних множників. Тому:

а) s = 17 + 5 + 1 = 23;      б) s = 2 + 6 +1 + 1 = 10;

 в) s = 5 + 1 + 2 = 8;         г) s = 0. ♦

Приклад

Піднести одночлени до степеня:

а)  \left(-1\frac{1}{2}q^{3} \right)^{2};     б)  \left(-1,2 a^{4}d^{3}\right)^{2} ;

в)  \left(4x^{n} \right)^{2} ;     г)  \left(3a^{n}b^{m} \right)^{3} .

♦ Для того, щоб піднести одночлен до степеня, потрібно піднести до степеня кожен з його множників.

а)  \left(-1\frac{1}{2}q^{3} \right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}q^{3} \right)^{2}=\left(-\frac{3}{2} \right)^{2}q^{2\cdot 3}=\frac{9}{4}q^{6}=2\frac{1}{4}q^{6} ;

б)  \left(-1,2 a^{4}d^{3}\right)^{2}=\left(-1,2 \right)^{2}a^{4\cdot 2}d^{3\cdot 2}=1,44a^{8}d^{6} ;

в)  \left(4x^{n} \right)^{2}=4^{2}x^{n\cdot 2}=16x^{2n} ;

г)  \left(3a^{n}b^{m} \right)^{3}=3^{3}a^{n\cdot 3}b^{m\cdot 3}=27a^{3n}b^{3m} .♦

Приклад

Знайдіть добуток многочленів:

а)  5a^{2}bx \; i\; -7acx^{2} ;

б)  10ax^{4},\; -0,1a^{5}\; i\; -0,5a^{2}x^{8} ;

в)  -\frac{1}{3}a^{2}bc,\; -15ab^{2}c\; i\; 0,2abc^{2} .

♦ Щоб перемножити одночлен на одночлен, необхідно перемножити їх коефіцієнти та відповідні буквенні вирази.

а)  5a^{2}bx \cdot ( -7acx^{2}) = 5\cdot (-7)a^{2+1}bcx^{1+2}=-35a^{3}bcx^{3} ;

б)  10ax^{4}\cdot ( -0,1a^{5}) \cdot ( -0,5a^{2}x^{8}) =

 =10\cdot (-0,1)\cdot (-0,5)a^{1+5+2}x^{4+8}=0,5a^{8}x^{12} ;

в)  -\frac{1}{3}a^{2}bc \cdot ( -15ab^{2}c) \cdot  0,2abc^{2}=

 =-\frac{1}{3}\cdot \left(-15 \right)\cdot 0,2a^{2+1+1}b^{1+2+1}c^{1+1+2}=a^{4}b^{4}c^{4} .♦

Приклад

Виконати ділення:

а)  15a^{3}b^{7}c:5abc ;

б)  12x^{8}y^{5}z^{3}:24x^{8}yz^{2} ;

в)  \frac{1}{8}a^{m-4}b^{n-6}c^{5}:\frac{3}{16}a^{m-6}b^{n-6}c .

♦ Для того, щоб поділити одночлен на одночлен потрібно поділити їх коефіцієнти та відповідні буквення вирази. При цьому необхідно пам’ятати, що при ділення степенів їх показники віднімаються.

а)  15a^{3}b^{7}c:5abc=15:5a^{3-1}b^{7-1}c^{1-1}=3a^{2}b^{6}c^{0}=3a^{2}b^{6} ;

б)  12x^{8}y^{5}z^{3}:24x^{8}yz^{2}=12:24x^{8-8}y^{5-1}z^{3-2}=0,5x^{0}y^{4}z^{1}=

 =0,5y^{4}z ;

в)  \frac{1}{8}a^{m-4}b^{n-6}c^{5}:\frac{3}{16}a^{m-6}b^{n-6}c=\frac{1}{8}:\frac{3}{16}a^{m-4-(m-6)}b^{n-6-(n-6)}c^{5-1}=

 =\frac{1}{8}\cdot \frac{16}{3}a^{m-4-m+6}b^{n-6-n+6}c^{4}=\frac{2}{3}a^{2}c^{4} .♦

Приклад

Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) х5 у4 + ху5 – х2у6 + х3у7);

б) (2х3 + 3х2 – а – а2)· аху;

в) 2х (5х3 – 3х – bx + b3)· b;

г) -xt (x2 t2 – xt + 3)·p

♦ У поданих виразах потрібно виконати множення одночленів на многочлени, тобто вирази, що стоять перед дужками перемножити на кожен вираз, що стоїть у дужках, а потім позводити всі подібні доданки. 

а) х5 у4 + ху5 – х2у6 + х3у7) = х5уу4+ х5уху5 – х5ух2у6 + х5ух3у7 = х5у5 + х6у6 – х7у7 + х8у8;

б) (2х3 + 3х2 – а – а2)· аху = 2х3аху + 3х2аху – ааху – а2аху = 2х4ау + 3х3ау – а2ху – а3ху;

в) 2х (5х3 – 3х – bx + b3)· b = 2хb (5х3 – 3х – bx + b3) = 2хb·5х3 – 2хb·3х – 2хbbx + 2хbb3 = 10х4b – 6х2b – 2х2b2+ 2хb4;

г) -xt (x2 t2 – xt + 3)·p = -xtp (x2 t2 – xt + 3) = -xtpx2 t2 + xtpxt – xtp·3 =  -x3 t3p + x2t2p – 3xtp. ♦

Приклад

Виконайте множення: 

а) (x-a)(x-b)(x-c);

б) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1);

в) (-a + b +c)(a – b + c)(a + b – c);

г) (a3 + a2b + ab2 + b3)(a – b);

д) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)(a – b);

е) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)(a – b).

♦ Для того щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожен член першого многочлена помножити на кожен член другого, а потім звести подібні доданки.

а) (x – a)(x – b)(x – c) = (xx – ax – xb + ab)(x – c) = (x2 – ax – xb + ab)(x – c) = x2x – axx – xb x+ abx – x2c + axc + xbc – abc = x3 – ax2 – bx2+ abx – cx2 + acx + bcx – abc = x3 – ax2 – bx2 – cx2+ abx + acx + bcx – abc;

б) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x2x2 + xx2 + 1·x2 – x2x – xx – 1·x + x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x4 + x2 – 2x + 1)(x2 – 1) = x4x2 + x2x2  – 2xx2 + 1·x– x4 – x2 + 2x – 1 = x6 + x4  – 2x3 + x– x4 – x2 + 2x – 1 = x6 – 2x3 + 2x – 1;

в) (-a + b +c)(a – b + c)(a + b – c) = (-aa + ba +ca + ab – bb – cb – ac + bc +cc)(a + b – c) = (-a2 + 2ab – b2 +c2)(a + b – c) = -a2a + 2aba – b2a +c2a – a2b + 2abb – b2b +c2b + a2c – 2abc + b2c – c2c = -a3 + 2a2b – b2a +c2a – a2b + 2ab2 – b3 +c2b + a2c – 2abc + b2c – c3 =  -a3  – b3 – c3+ a2b + ab2+ a2c+ ac2 + b2c + bc2 – 2abc;

г) (a3 + a2b + ab2 + b3)(a – b) = a3a + a2ba + ab2a + b3a  – a3b – a2bb – ab2b – b3b =  a4+ a3b + a2b2 + ab3– a3b – a2b2 – ab3 – b4 = a4– b4;

д) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)(a – b) = a4a + a3ba + a2b2a + ab3a + b4a – a4b – a3bb – a2b2b – ab3b – b4b = a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + b4a – a4b – a3b2 – a2b3 – ab4 – b5 = a5 – b5;

е) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)(a – b) = a4a – a3ba + a2b2a – ab3a + b4a – a4b + a3bb – a2b2b + ab3b – b4b = a5 – a4b + a3b2 – a2b3 + ab4 – a4b + a3b2 – a2b3 + ab4 – b5 = a5 – 2a4b + 2a3b2 – 2a2b3 + 2ab– b5.♦

Приклад

Розкладіть многочлени на множники: 

а) (6a + 20)(6c – 5a) + (3a + 10)(c + 4a);

б) 12a2b2 – 6abc + 3ac2 – 6a2bc – c + 2ab

♦ а) Використаємо спосіб винесення спільного множника за дужки. Винесемо в першому доданку з перших дужок спільний множник 2: (6a + 20)(6c – 5a) + (3a + 10)(c + 4a) = 2(3a + 10)(6c – 5a) + (3a + 10)(c + 4a) = (тепер маємо спільний множник 3а+10, виносимо його за дужки) = (3a + 10)(2(6c – 5a) +(c + 4a)) = (розкриваємо внутрішні дужки та зводимо подібні доданки) = (3a + 10)(12c – 10a + c + 4a) = (3a + 10)(13c – 6a).

б) Використовуємо спосіб групування: 12a2b2 – 6abc + 3ac2 – 6a2bc – c + 2ab = (12a2b2 – 6abc) + (3ac2 – 6a2bc)  – c + 2ab = 6ab (2ab – c) + 3ac (c – 2ab) – (c – 2ab) =  -6ab (c – 2ab ) + 3ac (c – 2ab) – (c – 2ab) = (c – 2ab )(- 6ab + 3ac – 1).♦

Приклад

Запишіть суму і різницю многочленів у стандартному вигляді:

а) 15m7 – 3m4 + m3  i  –15m7 + 3m4 – m– 5;

б) 8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3  i  18a3 – 3a2b – 5ab2 + b3.

♦  а) (15m7 – 3m4 + m3)  +  (-15m7 + 3m4 – m– 5) = 15m7 – 3m4 + m3 -15m7 + 3m4 – m3 – 5 = – 5

(15m7 – 3m4 + m3)  –  (-15m7 + 3m4 – m– 5) = 15m7 – 3m4 + m3 + 15m7 3m4 + m3 + 530m7 – 6m4 + 2m+ 5.

б) (8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3) +  (18a3 – 3a2b – 5ab2 + b) =  8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3 + 18a3 – 3a2b – 5ab2 + b3 = 26a3  – 10ab2 + 2b;

(8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3) –  (18a3 – 3a2b – 5ab2 + b) =  8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3 – 18a3 + 3a2b + 5ab2 – b3 = -10a3 + 6a2b.♦ 

Приклад

Замість * запишіть такий член, щоб одержаний многочлен стандартного вигляду не містив букви а:

а) 3a – 11 – 5a + 17 – 8a + 23 + *;

б) 3ax2 – 5x3 + 4x2 + 8ax2 – 5 + 11x + *;

в) 2x2 + 3ax – 9a2 + 8x2 – 5ax + 8a2 + 3x2 + 2ax + *.

♦ Спочатку зведемо всі подібні члени многочлена (додамо між собою доданки з однаковою буквенною частиною), а потім замість зірочки запишемо протилежний член до того, який містить букву а. Оскільки протилежні вирази в сумі дають 0, то многочлен не міститиме букви а.

а) 3a – 11 – 5a + 17 – 8a + 23 + * = – 10а + 29 + * = – 10а + 29 + 10а = 29; (* = 10а)

б) 3ax2 – 5x3 + 4x2 + 8ax2 – 5 + 11x + * = 11ах2 – 5х3 + 4х2 – 5 + 11х + * = 11ах2 – 5х3 + 4х2 – 5 + 11х – 11ах2 = – 5х3 + 4х2 – 5 + 11х; (* = –11ах2)

в) 2x2 + 3ax – 9a2 + 8x2 – 5ax + 8a2 + 3x2 + 2ax + * = 13х2 – а2 + * = 13х2 – а2 + а2 = 13х2 , (* = а2).♦