Функціональні ряди

Приклад

Знайти область збіжності та суму функціонального ряду   \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{x^{2n}}}.

Заданий ряд є геометричним (знаменник   q=\frac{1}{x^{2}}). Ряд збігається тоді і тільки тоді, коли \left|q \right|=\frac{1}{x^{2}}<1 , тобто коли   \left|x \right|>1. Оскільки ряд додатний, то область його збіжності є одночасно і областю абсолютної збіжності ряду і збігається з множиною  (-∞; -1)∪(1; +∞).  Сума заданого геометричного ряду  F(x)=\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{x^{2}-1} .♦

Приклад

Визначити радіус, інтервал та область (проміжок) збіжності степеневого ряду   \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{2^{n}}{2n+1}x^{n}}.

Маємо степеневий ряд, у якого   a_{n}=\frac{2^{n}}{2n+1} і   a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{2n+3}. Тому знаходимо радіус збіжності степеневого ряду  R=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{2^{n}\left(2n+3 \right)}{2^{n+1}\left(2n+1 \right)}=\frac{1}{2} . Тоді інтервалом збіжності є  \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right) . Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу. При   x=-\frac{1}{2} маємо знакопочережний ряд   \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{(-1)^{n}}{2n+1}} , який збігається за ознакою Лейбніца. При  x=\frac{1}{2} дістаємо розбіжний ряд   \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{2n+1}}. Отже, областю збіжності заданого ряду є піввідрізок   \left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right).♦

Приклад

Чи збігається ряд  x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{4}+\frac{x^{4}}{8}+... у точці х = 1?

♦ Запишемо загальний член ряду f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{2^{n}}, n\in N  Тому для х = 1 маємо числовий ряд \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{2^{n-1}}} , який є геометричним зі знаменником  q=\frac{1}{2}<1, а отже, збіжним.♦

Приклад

Знайти радіус і круг збіжності ряду  \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{\left(z-i \right)^{n}}{n}} .

♦За формулою R=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_{n} \right|}}  маємо  R=\lim_{n\rightarrow \propto }\sqrt[n]{n}=1  . Тому круг збіжності \left|z-i \right|<1  ♦

Приклад

Дослідити ряд на збіжність  \sum_{n=1}^{\propto }{n^{2}3^{n}(x-3)^{2n-1}} . Знайти інтервал збіжності цього ряду та його суму.

♦  a_{n}=n^{2}\cdot 3^{n}

  a_{n+1}=(n+1)^{2}\cdot 3^{n+1}  .

За ознакою Д’Аламбера: 

 R=\lim_{n\rightarrow \propto }\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|=\lim_{n\rightarrow \propto \frac{n^{2}\cdot 3^{n}}{(n+1)^{2}\cdot 3^{n+1}}}=

 =\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{n^{2}\cdot 3^{n}}{(n+1)^{2}\cdot 3^{n}\cdot 3}=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{n^{2}}{3\left(n^{2}+2n+1 \right)}=

 =\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{n^{2}}{3n^{2}+6n+3}=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{n^{2}}{n^{2}\left(3+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^{2}} \right)}=

 =\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{1}{3}=\frac{1}{3} .

Інтервал збіжності ряду знайдемо з подвійної нерівності: 

 -\frac{1}{3}<x-3<\frac{1}{3}

 -\frac{1}{3}+3<x<\frac{1}{3}+3

  2\frac{2}{3}<x<3\frac{1}{3} .

Отже, інтервал збіжності заданого ряду  \left(2\frac{2}{3};3\frac{1}{3} \right) .

Проінтегруємо заданий ряд по змінній х: 

 \int \sum_{n=1}^{\propto }{n^{2}\cdot 3^{n}\left(x-3 \right)^{2n-1}}dx=

 =\sum_{n=1}^{\propto }{\frac{n^{2}\cdot 3^{n}}{2n}\left(x-3 \right)^{2n}}=

 =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\propto }{n\cdot 3^{n}\left(x-3 \right)^{2n}} .

Запишемо отриманий ряд у вигляді: 

 \frac{1}{2}\left(x-3 \right)\sum_{n=1}^{\propto }{n\cdot 3^{n}\left(x-3 \right)^{2n-1}}  (1).

Проінтегруємо ще раз останній ряд за змінною х: 

 \int \sum_{n=1}^{\propto }{n\cdot 3^{n}\left(x-3 \right)^{2n-1}}dx=

 =\sum_{n=1}^{\propto }{\frac{n\cdot 3^{n}\left(x-3 \right)^{2n}}{2n}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\propto }{3^{n}\left(x-3 \right)^{2n}} (2) 

 \sum_{n=1}^{\propto }{3^{n}\left(x-3 \right)^{2n}}=3\left(x-3 \right)^{2}+3^{2}\left(x-3 \right)^{4}+3^{3}\left(x-3 \right)^{6}+...  .

Маємо геометричний ряд з  b_{1}=3\left(x-3 \right)^{2}   та  q=3\left(x-3 \right)^{2}=\frac{1}{3}<1 .

Тому  S(x)=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3\left(x-3 \right)^{2}}{1-3\left(x-3 \right)^{2}} .

Враховуючи записи (1) та (2), отримаємо: 

 S(x)=\frac{1}{2}\left(x-3 \right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3\left(x-3 \right)^{2}}{1-3\left(x-3 \right)^{2}}=

 =\frac{1}{4}\frac{3\left(x-3 \right)^{3}}{1-3\left(x-3 \right)^{2}}=\frac{3\left(x-3 \right)^{3}}{4-12\left(x-3 \right)^{2}} .♦

Приклад

Розкласти функцію в ряд Фур’є  f(x)=\frac{\pi +x}{2}  на проміжку х ∈ (0; π)

♦  f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(a_{n}cos\frac{\pi nx}{l}+b_{n}sin\frac{\pi nx}{l} \right)}

 l=\frac{\pi }{2}

 a_{0}=\frac{1}{l}\int_{a}^{b}{f(x)dx};

 a_{n}=\frac{1}{l}\int_{a}^{b}{f(x)\cdot cos\frac{\pi nx}{l}dx};

 b_{n}=\frac{1}{l}\int_{a}^{b}{f(x)sin\frac{\pi nx}{l}dx}.

 a_{0}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }{\frac{\pi +x}{2}dx}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }{\left(\frac{\pi }{2}+\frac{x}{2} \right)}dx=

 =\frac{2}{\pi }\left(\frac{\pi }{2}x+\frac{x^{2}}{4} \right)|_{0}^{\pi }=\frac{2}{\pi }\left(\frac{\pi ^{2}}{2}+\frac{\pi ^{2}}{4}-0-0 \right)=

 =\frac{2}{\pi }\cdot \frac{3\pi ^{2}}{4}=\frac{3\pi }{2};

 a_{n}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }{\frac{\pi +x}{2}\cdot cos\frac{2\pi nx}{\pi }dx}=

 =\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }{\frac{\pi +x}{2}\cdot cos\left(2nx \right)dx}=

 =\frac{2}{\pi }\left(\int_{0}^{\pi }{\frac{\pi }{2}cos\left(2nx \right)dx}+\int_{0}^{\pi }{\frac{x}{2}cos\left(2nx \right)dx} \right)=

 =\frac{2}{\pi }\left(\frac{\pi }{2}\cdot \frac{sin\left(2nx \right)}{2n}|_{0}^{\pi }+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi }{x\cdot cos\left(2nx \right)dx} \right)=

 \int_{0}^{\pi }{x\cdot cos\left(2nx \right)dx}=\begin{vmatrix} U=x, &dV=cos\left(2nx \right) \\ dU=dx, & V=\frac{sin\left(2nx \right)}{2n}dx \end{vmatrix}=

 =x\cdot \frac{sin\left(2nx \right)}{2n}|_{0}^{\pi }-\int_{0}^{\pi }{\frac{sin\left(2nx \right)}{2n}dx}=

 =\pi \cdot \frac{sin\left( 2\pi n\right)}{2n}-0+\frac{cos\left(2nx \right)}{4n^{2}}|_{0}^{\pi }=

 =0+\frac{1-1}{4n^{2}}=0

 =\frac{2}{\pi }\left(\frac{\pi }{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0 \right)=0\Rightarrow a_{n}=0

 b_{n}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }{\frac{\pi +x}{2}\cdot sin\frac{2\pi nx}{\pi }dx}=

 =\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }{\left(\frac{\pi }{2}\cdot sin\left(2nx \right) \right)+\frac{x}{2}sin\left(2nx \right)dx}=

 =\frac{2}{\pi }\left(\frac{\pi }{2}\cdot \frac{-cos\left(2nx \right)}{2n}|_{0}^{\pi } +\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi }{x\cdot sin\left(2nx \right)dx}\right)=

 \int_{0}^{\pi }{x\cdot sin\left(2nx \right)dx}=\begin{vmatrix}  U=x, &dV=sin\left(2nx \right)dx \\ dU=dx, & V=-\frac{cos\left(2nx \right)}{2n} \end{vmatrix}=

 =-\frac{x\cdot cos\left(2nx \right)}{2n}|_{0}^{\pi }+\int_{0}^{\pi }{\frac{cos\left(2nx \right)}{2n}dx}=

 =\frac{-\pi \cdot 1}{2n}-0-\frac{1}{4n^{2}sin\left(2nx \right)|_{0}^{\pi }}=

 =-\frac{\pi }{2n}-0-0=-\frac{\pi }{2n}

 =\frac{2}{\pi }\left(\frac{\pi }{2}\left(-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n} \right)+\left(-\frac{\pi }{2n} \right) \right)=

 =\frac{2}{\pi }\left(0-\frac{\pi }{4n} \right)=\frac{2}{\pi }\left(-\frac{\pi }{4n} \right)=-\frac{1}{2n}\Rightarrow

 \Rightarrow b_{n}=-\frac{1}{2n}

Отже,  \frac{\pi +x}{2}=\frac{3\pi }{4}+\sum_{n=1}^{\infty}{-\frac{1}{2n}sin\left(2nx \right)}=

 =\frac{3\pi }{4}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{sin\left(2nx \right)}{2n}} .

Приклад

Розкласти функцію в степеневий ряд  f(x)=ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} .

♦  f(x)=ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=ln\left(\frac{1+x}{1-x} \right)^{\frac{1}{2}}=

 =2ln\left(\frac{1+x}{1-x} \right)=2\left(ln\left(1+x \right) -ln\left(1-x \right)\right)

Розвинемо окремо функції  ln\left( 1+x\right)   та  ln\left(1-x \right)=ln\left(1+(-x) \right)  .

 ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+...+\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}+...

 ln\left(1-x \right)=-x-\frac{(-x)^{2}}{2}+\frac{(-x)^{3}}{3}-\frac{(-x)^{4}}{4}+...+\frac{(-1)^{n+1}(-x)^{n}}{n}+...=

 =-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-...-\frac{x^{n}}{n}

 2\left(ln\left(1+x \right)-ln\left(1-x \right) \right)=2(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+...+

 +\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}+...+\frac{x^{n}}{n}+...)=

 =2\left(2x+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}+\frac{2x^{7}}{7}+...+\frac{2x^{2n-1}}{2n-1} +...\right)=

 =4\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+...+\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+... \right)=4\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{2n-1}}{2n-1}}

В розвиненні ln(1+x), x ∈ (-1; 1], а в ln(1-x), x∈[-1;1) , тому найбільшим околом О(х0), у якому цей розклад має місце є відрізок [-1;1].

Приклад

Знайти радіус збіжності степеневого ряду  \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}(x-2)^{n}}{n!}} .

♦ Радіус збіжності обчислимо за формулою:  R=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|

 R=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}}=

 =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+1)!}{n!}=\lim_{n\rightarrow \infty}(n+1)= \infty

Отже, ряд збігається при  x\in (- \infty;+ \infty) .♦

Приклад

Розкласти функцію в ряд  f(x)=\frac{1}{(1-x^{3})^{2}},\; f(0)=1 та знайти його радіус збіжності.

 f'(x)=6\cdot \frac{x^{2}}{\left(-x^{3}+1 \right)^{3}},\; f'(0)=0,

 f''(x)=54\cdot \frac{x^{4}}{\left(-x^{3}+1 \right)^{4}}+12\cdot \frac{x}{\left(-x^{3}+1 \right)^{3}},\; f''(0)=0,

 f'''(x)=648\frac{x^{6}}{\left(-x^{3}+1 \right)^{5}}+324\frac{x^{3}}{\left(-x^{3}+1 \right)^{4}}+\frac{12}{\left(-x^{3}+1 \right)^{3}},\; f'''(0)=12,

 f(x)=1+\frac{0}{1!}(x-0)+\frac{0}{2!}(x-0)^{2}+\frac{12}{3!}(x-0)^{3}+\frac{0}{4!}(x-0)^{4}+

 \frac{0}{5!}(x-0)^{5}+\frac{2160}{6!}(x-0)^{6}+\frac{0}{7!}(x-0)^{7}+...=

 =1+\frac{12}{3!}x^{3}+\frac{2160}{6!}x^{6}+...=1+2x^{3}+3x^{6}+...=

 =\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)x^{3n}} .

Отже,  f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)x^{3n}} .

 a_{n}=n+1 ,

 a_{n+1}=n+2 .

 R=\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n+2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n(1+\frac{2}{n})}=1 . ♦

Приклад