Площина і пряма у координатному просторі

Приклад

Скласти рівняння площини, що проходить через задані точки М₁(1;-2;1), М₂(0;2;-1), М₃(1;0;1)

♦ $\alpha :\begin{vmatrix} x-1 &y-(-2) &z-1 \\ 0-1 &2-(-2) &-1-1 \\ 1-1 &0-(-2) & 1-1 \end{vmatrix}=0$

$\alpha :\begin{vmatrix} x-1 &y+2 &z-1 \\ -1 &4 &-2 \\ 0 &2 &0 \end{vmatrix}=0$

$\alpha :(x-1)\cdot 4\cdot 0+(y+2)\cdot (-2)\cdot 0+(-1)\cdot 2\cdot (z-1)-$

$-(z-1)\cdot 4\cdot 0-(-2)\cdot 2\cdot (x-1)-(-1)\cdot (y+2)\cdot 0=0$

$\alpha :-2(z-1)+4(x-1)=0$

$\alpha :-2z+2+4x-4=0$

$\alpha :4x-2z-2=0$ -шукане рівняння площини.♦

Приклад

Знайти кут між площиною та прямою:

$\alpha :3x-2y+z+4=0$ $l:\left\{\begin{matrix} 3x-z+1=0,\\ 2x-y-3=0 \end{matrix}\right.$ .

♦ $\bar{q}=\bar{n_{1}}\times \bar{n_{2}}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 3 & 0 & -1\\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix}=$

$=0\bar{i}-2\bar{j}-3\bar{k}-0\bar{k}-\bar{i}-0\bar{j}=$

$=-\bar{i}-2\bar{j}-3\bar{k}\Rightarrow \bar{q}\left(-1;-2;-3 \right)$

$sin\varphi =\frac{\left(Al+Bm+Cn \right)}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}}$

$sin\varphi =\frac{\left|3\cdot (-1)-2\cdot (-2)+1\cdot (-3) \right|}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}}}=$

$=\frac{\left|-3+4-3 \right|}{\sqrt{9+4+1}\sqrt{1+4+9}}=\frac{\left|-2 \right|}{\sqrt{14}\sqrt{14}}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$

Отже, $sin\varphi =\frac{1}{7}\approx 0,1429\Rightarrow \varphi =8^{0}$ ♦

Приклад

Знайти гострий кут між прямими:

$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-1}{1}$ та $\frac{x+4}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z+3}{0}$ .

♦ Для обчислення кута між прямими використаємо формулу:

$cos\alpha =\pm \frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$ ⇒

⇒ $cos \alpha =\pm \frac{1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot 0}{\sqrt{1+0+1}\sqrt{1+0+0}}=\frac{\pm 1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Оскільки кут α гострий, то беремо додатне значення косинуса, тобто $cos\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{4}.$ ♦

Приклад

Знайти проекцію точки А (-1; 5; -2) на пряму

$\frac{x+4}{3}=\frac{y-7}{4}=\frac{z+1}{-2}$ . Обчислити відстань від цієї точки до даної прямої.

♦Знайдемо проекцію А₁ точки А (-1; 5; -2) на задану пряму.

Запишемо спочатку рівняння площини, що проходить через точку А та перпендикулярна до цієї прямої. Вектор $\bar{a}=(3;4;-2)$ є направляючим вектором цієї прямої, а значить він буде перпендикулярний до площини. Тому рівняння площини можемо записати наступним чином:

$3(x+1)+4(y-5)-2(z-2)=0$ ⇔ $3x+3+4y-20-2z+4=0$ ⇔ $3x+4y-2z-13=0$ .

Тепер запишемо рівняння заданої прямої в параметричному вигляді:

$\frac{x+4}{3}=\frac{y-7}{4}=\frac{z+1}{-2}\Leftrightarrow x=3t+4,\; y=4t+7;\; z=2t-1$ .

Підставивши вирази x, y, z у рівняння площини, отримаємо точку перетину прямої з площиною:

$3(3t-4)+4(4t+7)-2(2t-1)-13=0\Leftrightarrow 9t-12+16t+28-4t+2-13=0\Leftrightarrow 21t+3=0\Leftrightarrow$ .

З рівняння прямої при $t=-\frac{1}{7}$ дістанемо координати точки А₁:

$A_{1}: x=-\frac{3}{7}-4=-\frac{31}{7},\; y=\frac{4}{7}+7\frac{53}{7},\; z=-\frac{2}{7}-1=-\frac{9}{7}$ .

Отже, $A_{1}(-\frac{31}{7};\frac{53}{7};-\frac{9}{7})$ – проекція точка А на задану пряму.

Визначимо відстань від точки А до прямої. Це і буде відстань між точками А та А₁:

$AA_{1}=\sqrt{(-1+\frac{37}{7})^{2}+(5-\frac{53}{7})^{2}+(-2+\frac{9}{7})^{2}}=\sqrt{(\frac{24}{7})^{2}+(\frac{18}{7})^{2}+(-\frac{5}{7})^{2}}=$

$=\sqrt{\frac{576+324+25}{49}}=\frac{\sqrt{925}}{7}=\frac{5\sqrt{37}}{7}$ .♦

Приклад

Записати канонічне рівняння прямої, заданої як перетин двох площин: x – 2y + 3z +1 = 0 та 2x + y – 4z – 8 = 0 .

Скласти параметричне рівняння прямої l, яка проходить через точку М (3; -4; 5).

♦ Оскільки пряма задана, як перетин двох площин, то напрямний вектор цієї прямої можемо знайти як векторний добуток векторів нормалі заданих площин. Їхні вектори нормалі:

$\vec{n_{1}}=(1;-2;3),\; \vec{n_{2}}=(2;1;-4)$

Тоді напрямний вектор шуканої прямої $\vec{a}=(a_{x};a_{y};a_{z})$ знаходимо за формулою векторного добутку:

$a_{x}=-2\cdot (-4)-1\cdot 3=5,\; a_{y}=2\cdot 3-1\cdot (-4)=10,\; a_{z}=1\cdot 1-2\cdot (-2)=5\; \Rightarrow \vec{a}=(5;10;5)$ .

Тепер методом підбору візьмемо довільну точку, яка належить даній прямій. Нехай це буде точка з абсцисою х = – 1. Знайдемо координати y та z цієї точки:

$\begin{cases}& \text{} x= -1, \\ & \text{ } x-2y+3z+1= 0, \\ & \text{ } 2x+y-4z-8=0 \end{cases}$ ⇔

$\begin{cases}& \text{} x= -1, \\ & \text{ } -2y+3z= 0, \\ & \text{ } y-4z=10 \end{cases}$ ⇔ $x=-1,\; y=-6,\; z=-4$ .

Тепер можемо записати рівняння прямої, що проходить через точку К (-1; -6; -4) паралельно вектору $\vec{a}=(5;10;5)$ . Це і буде канонічне рівняння шуканої прямої:

$\frac{x+1}{5}=\frac{y+6}{10}=\frac{z+4}{5}\Rightarrow \frac{x+1}{1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z+4}{1}$ .

Тепер запишемо канонічне рівняння заданої прямої l, яка паралельна заданій прямій і проходить через точку М (3; -4; 5):

$\frac{x-3}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-5}{1}$ . А звідси записуємо параметричне рівняння цієї прямої:

$x=t+3, \; y = 2t-4,\; z=t+5$ .♦

Приклад

Обчислити відстань від початку координат до площини 2 х – 2 у + z – 30 = 0. Знайти напрямні косинуси вектора нормалі цієї площини. Знайти об’єм тетраедра, вершинами якого є початок кординат і точки перетину площини з осями координат.

♦ Спочатку запишемо нормальне рівняння площини:

$\frac{2x-2y+z-30}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}=0\Leftrightarrow \frac{2x-2y+z-30}{3}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-10=0$ .

Маємо: $p=10$ – відстань від початку координат до площини,

$cos\alpha =\frac{2}{3},\; cos \beta =-\frac{2}{3},\; cos \gamma =\frac{1}{3}$ -напрямні косинуси вектора нормалі.

Знайдемо точки перетину площини з осями координат. Для цього запишемо рівняння площини у відрізках на осях: $\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z=10 /: 10,$

$\frac{2}{30}x-\frac{2}{30}y+\frac{1}{30}=1$ ,

$\frac{1}{15}x-\frac{1}{15}y+\frac{1}{30}=1$ .

Отже, маємо: А ( 15; 0; 0), В ( 0; – 15; 0), С ( 0; 0; 30) – точки перетину площини з осями координат.

Маємо тетраедр, три ребра якого лежать на осях координат.

Тому його об’єм можемо обчислити за формулою:

$V = \frac{1}{3}\cdot S_{OAB}\cdot OC$ ;

Оскільки трикутник ОАВ є прямокутним рівнобедреним, то його площу знайдемо за формулою:

$S_{OAB}= \frac{1}{2}OA\cdot OB$ .

Тоді:

$V = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot OC= \frac{1}{6}OA\cdot OB\cdot OC= \frac{1}{6}15\cdot 15\cdot 30=1125$ куб. од. ♦

Приклад

Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки А (-1; 2; 4) та В (4; 0; -2) паралельно вектору

$\bar{a}=(-2; 1;-3)$ .

♦ Оскільки площина проходить через точки А (-1; 2; 4) та В (4; 0; -2), то вона паралельна вектору $\vec{b}=\vec{AB}=(5;-2;-6)$ . Крім того вона паралельна вектору $\bar{a}=(-2; 1;-3)$ за умовою.

Знайдемо такий вектор $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}$ , який перпендикулярний до векторів $\vec{a}\; i \; \vec{b}$ , а тому і до всієї площини. Нехай вектор $\vec{n}=(x_{n};y_{n};z_{n})$ , За формулами векторного добутку отримаємо:

$x_{n}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})=1\cdot (-6)-(-3)\cdot(-2)=-12;$

$y_{n}=(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})=-3\cdot 5 -(-2)\cdot(-6)=-27;$

$z_{n}=(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})=-2\cdot (-2)-1\cdot(5)=-1$ ⇒

$\vec{n}=(-12;-27;-1).$

Тепер можемо записати рівняння площини, що проходить через точку А (-1; 2; 4) із вектором нормалі [latex] \vec{n}=(-12;-27;-1):

-12 (х +1) -27 (у -2) -1 (z -4) =0 ⇒ 12 х + 27 у + z – 46 = 0.♦