Простір подій. Відносна частота події. Поняття ймовірності події та її властивості

Приклад

Хлопчик чекає телефонного дзвінка від друга протягом години. Знайти ймовірність того, що друг зателефонує йому в перші 20 хвилин.

♦ Оскільки друг може зателефонувати протягом години, то Ω = [0; 1] – простір випадкових подій цього випадкового експерименту. Подія А полягає у тому, що друг зателефонує протягом перших 20 хвилин, тому A = [0; 1/3]. Тоді ймовірність Р(А) можна знайти як відношення міри множини А до міри множини Ω, тобто

$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega )}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}$ .♦

Приклад

Слово “Голкіпер” складено з літер-карток розрізної азбуки. З них навмання вибирають три картки і кладуть в ряд одну за однією в порядку появи. Яка ймовірність того, що при цьому складається слово “гол”?

♦ При утворенні простору елементарних подій Ω розглядаються всі впорядковані 3-елементні підмножини 8-елементної множини (в слові “голкіпер” 8 літер). Тому всього можливих варіантів може бути $n=A_{8}^{3}=8\cdot 7\cdot 6=336$ , а сприятливим для шуканої події А є лише один випадок (m = 1), коли буде вийнято підряд літери “г”, “о”, та “л”. Отже, $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{1}{336}$ .♦

Приклад

У групі із 30 студентів екзамен з вищої математики 3 студенти склали на “відмінно”, 12 – на “добре” і 10 – на “задовільно”. З групи навмання вибирають двох студентів. Яка ймовірність того, що вони одержали незадовільні оцінки?

♦ В групі всього 30 – 3 – 12 – 10 = 5 осіб, які склали екзамен на “незадовільно”. Всього двох студентів можна обрати $n=C_{30}^{2}=435$ способами. Тих, які отримали “незадовільно” можна обрати $m=C_{5}^{2}=10$ способами. Отже, $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{10}{435}=\frac{2}{87}$ .♦

Приклад

В одній урні є 3 білі та 7 чорних куль, а в іншій – 4 білі ті 6 чорних. З кожної урни виймають по одній кулі. Яка ймовірність того, що кулі будуть різного кольору?

♦ Розглянемо попарно незалежні події Б₁– біла куля з першої урни, Ч₂ – чорна куля з другої урни, Ч₁– чорна куля з першої урни, Б₂ – біла куля з другої урни.

Тоді ймовірність того, що з першої урни витягнуто білу кулю, а з другої – чорну, дорівнює Р(Б₁Ч₂) = Р(Б₁)·Р(Ч₂). А ймовірність того, що з першої урни витягнуто чорну кулю, а з другої – білу, дорівнює Р(Ч₁Б₂) = Р(Ч₁)·Р(Б₂).

Оскільки, в кожній урні всього по 10 куль, то маємо: Р(Б₁) = 3/10 = 0,3, Р(Ч₁) = 7/10 = 0,7, Р(Б₂) = 4/10 = 0,4, Р(Ч₂) = 6/10 = 0,6. А значить, Р(Б₁Ч₂) = 0,3 · 0,6 = 0, 18, Р(Ч₁Б₂) = 0,7 · 0,4 = 0, 28. Оскільки А = Б₁Ч₂+ Ч₁Б₂і події Б₁Ч₂та Ч₁Б₂несумісні, то шукану ймовірність обчислюємо за формулою Р (А + В) = Р (А) + Р (В), тобто Р(А) = Р (Б₁Ч₂) + Р (Ч₁Б₂) = 0,18 + 0, 28 = 0, 46.♦

Приклад

Ймовірність влучення в мішень одним стрільцем становить 0,4, іншим – 0,9. Стрільні незалежно один від одного зробили по одному пострілу. Яка ймовірність того, що принаймні один стрілець влучить в мішень?

♦ Нехай подія А полягає у влученні першим стрільцем у мішень, подія В – другим, а подія С – шукана подія. Тоді С = А + В. Враховуючи, що події А і В сумісні, проте незалежні, за формулами Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) та Р(АВ) = Р(А) Р(В) дістаємо: Р(С) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А) Р(В) = 0,4 + 0,9 – 0,4 · 0,9 = 0,94.♦

Приклад

З трьох грамат у одну ціль зроблено по одному пострілу. Ймовірність влучення із першої гармати дорівнює 0,95, із другої – 0,85, із третьої – 0,8. Знайти ймовірність двох влучень у ціль.

♦ Нехай подія А полягає у влученні першою гарматою у ціль, подія В – другою, подія С – третьою. Розглянемо також події: $\overline{A}$ – перша гармата не влучила в ціль, $\overline{B}$ – друга гармата не влучила в ціль,

$\overline{C}$ – третя не влучила. Їх ймовірності відповідно будуть дорівнювати:

$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,95=0,05;$

$P(\overline{B})=1-P(B)=1-0,85=0,15;$

$P(\overline{C})=1-P(C)=1-0,8=0,2.$

Нехай подія D – полягає у влученні в ціль двома гарматами. Настання цієї події можливе в трьох випадках:

1) Перша і друга гармати влучили в ціль, третя – не влучила. Нехай це буде подія D1.

В цьому випадку відбуваються три події $A, B, \overline{C}$ . Вони є незалежні. Тому настання їх одночасно обчислюємо за правилом множення ймовіностей

$P(D_{1})=P(A)\cdot P(B)\cdot P(\overline{C})=0,95\cdot 0,85\cdot 0,2=0,1615$ .

2) Перша і третя гармати влучили, друга – не влучила. Нехай це буде подія D2.

В цьому випадку відбуваються три події $A, \overline{B}, C$ . Вони є незалежні. Тому настання їх одночасно обчислюємо за правилом множення ймовіностей

$P(D_{2})=P(A)\cdot P(\overline{B})\cdot P(C)=0,95\cdot 0,15\cdot 0,8=0,114$ .

3) Друга і третя гармати влучили, перша не влучила. Нехай це буде подія D3.

В цьому випадку відбуваються три події $\overline{A}, B, C$ . Вони є незалежні. Тому настання їх одночасно обчислюємо за правилом множення ймовіностей

$P(D_{3})=P(\overline{A})\cdot P(B)\cdot P(C)=0,05\cdot 0,85\cdot 0,8=0,034$ .

Тепер можемо визначити ймовірність настання події D, як суму ймовірностей вище вказаних подій D₁, D₂, D₃, осільки події є несумісні.

$P(D)=P(D_{1})+P(D_{2})+P(D_{3})=0,1615+0,114+0,034=0,3095$

Отже, ймовірність двох влучень у ціль дорівнює 0,3095.♦

Приклад

Є кубик, на ньому є білі, жовті та зелені грані. Ймовірність випаду жовтого кольору 0,6. Побудувати всі можливі ймовірнісні простори за даних умов.

♦ 1) Введемо позначення:

Н₁ = {“Б”} (на кубику випадає біла грань),

Н₂ = {“Ж”} (випадає жовта грань),

Н₃ = {“З”} (випадає зелена грань).

Очевидно H_iH_j = Ø, i ≠ j, H₁ + H₂ + H₃ = Ω, тобто підмножини H₁, H₂, H₃ утворюють розбиття множини Ω на множини, що попарно не перетинаються.

Відомо, що Р_n* ({“Ж”}) = 0,6.

За наведеними даними можна побудувати можливі простори подій, для всіх елементів яких буде визначено статистичну ймовірність, наступним чином.

S = {Ø, Ω} (очевидно, що виконуються всі умови 1_s – 3_s )

Тоді трійка (Ω, S, P_n*) є ймовірнісним простором.

2) Розглянемо підмножину множини Ω, яка є доповненням множини {“Ж”} до множини Ω, тобто множину Ω \ ({“Ж”}) = {“Б”, “З”}.

Введемо позначення: Н₁ = {“Б”, “З”}, H₂ = {“Ж”}.

Очевидно H_iH_j = Ø, i ≠ j, H₁ + H₂ = Ω, тобто з підмножин Н₁ і Н₂ утворено поділ множини Ω на підмножини, які попарно не перетинаються.

Розглянемо таку сукупність множин: S = {Ω, H₁, H₂, H₁ + H₂ = Ω}.

Очевидно, що P_n* (Ø) = 0, P_n* ({“Б”, “З”}) = P_n* ¯({“Ж”}) = 1 – P_n* ({“Ж”}) = 1 – 0,6 = 0,4,

P_n* ({“Ж”}) = 0,6.

P_n* ({“Б”, “З”, “Ж”}) = 1. Отже, P_n* (А) визначена на всіх елементах множини S і задовольняє умови 1_р – 3_р.

Сукупність S задовольняє умови 1_s – 3_s.

Тому в розглянутому випадку трійка (Ω, S, P_n*) є ймовірнісним простором.

Інші підмножини, наприклад, {“Б”, “Ж”}, {“З”, “Ж”}, {“Б”}, {“З”} виявляються невимірними відносно заданої міри P_n*(A), A ∈ S і тому такі підмножини не включені до простору подій S. Тому інших ймовірнісних просторів визначити не можна.♦