Координатний простір

Приклад

Задано точки А(2; 4; 5), В(1; -2; 4) та С(-1; -2; 4). Знайти:

а) координати вектора $\vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC}$ , його довжину, напрямні косинуси та орт-вектор;

б) скалярний добуток векторів $\vec{a}$ та $\vec{b}=\vec{BC}$ ;

в) проекцію вектора $\vec{c}=\vec{BC}$ на вектор $\vec{d}=\vec{BA}$ ;

г) координати точки М, яка ділить відрізок ВС у відношенні α:β = 1:1.

♦ a) $\vec{AC}=\left(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A}; z_{C}-z_{A}\right)=$ $=\left(-1-2;-2-4;4-5 \right)=\left(-3;-6;-1 \right);$ $\vec{AB}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A}; z_{B}-z_{A}\right)=$ $=\left(1-2;-2-4;3-5 \right)=\left(-1;-6;-2 \right);$ $3\vec{AB}=\left(-3;-18;-6 \right);$ $4\vec{AC}=\left(-12;-24;-4 \right);$ $\vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC}=\left(x_{3\vec{AB}}-x_{4\vec{AC}};y_{3\vec{AB}}-y_{4\vec{AC}}; z_{3\vec{AB}}-z_{4\vec{AC}}\right)=$ $=\left(-3+12;-18+24;-6+4 \right)=\left(9;6;-2 \right);$ $\left|\vec{a} \right|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}=\sqrt{9^{2}+6^{2}+(-2)^{2}}=$ $=\sqrt{81+36+4}=\sqrt{121}=11.$ $\left|\vec{a} \right|=11$ – довжина вектора а. Напрямні косинуси: $cos\alpha =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|};$ $cos\beta =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|};$ $cos\gamma =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|};$ . Значить $\vec{a_{0}}=\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\left(\frac{9}{11};\frac{6}{11};-\frac{2}{11} \right)$ – орт вектора а. б) $\vec{a}\cdot \vec{b}=?$ $\vec{a}=\left(9;6;-2 \right)$ $\vec{b}=\vec{BC}=\left(x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B}; z_{C}-z_{B}\right)=$ $=\left(-1-1;-2+2;4-3 \right)=\left(-2;0;1 \right)$ $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}=$ $=9\cdot (-2)+6\cdot 0+(-2)\cdot 1=$ $=-18+0-2=-20.$ $cos\varphi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|}=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{(-2)^{2}+0+1^{2}}}=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{5}=-\frac{4\sqrt{5}}{11}}\approx -0,81;$ $\varphi =arccos\left(-0,81 \right)=\pi -arccos0,81=180^{0}-36^{0}=144^{0}.$ . в) $\vec{c}=\vec{BC}=\left(-2;0;1 \right)$ $\vec{d}=\vec{BA}=(x_{A}-x_{B};y_{A}-y_{B};z_{A}-z_{B})=$ $=\left(2-1;4+2;5-3 \right)=\left(1;6;2 \right)$ $np\frac{\vec{c}}{\vec{d}}=\frac{\vec{c}\vec{d}}{\left|\vec{d} \right|}=\frac{\left(-2;0;1 \right)\left(1;6;2 \right)}{\sqrt{1^{2}+6^{2}+2^{2}}}=\frac{-2+0+2}{\sqrt{1+36+4}}=\frac{0}{\sqrt{41}}=0$ . г) $x_{M}=\frac{x_{B}+\lambda x_{C}}{1+\lambda };$ $y_{M}=\frac{y_{B}+\lambda y_{C}}{1+\lambda };$ $z_{M}=\frac{z_{B}+\lambda z_{C}}{1+\lambda };$ $x_{M}=\frac{1+1\cdot (-1)}{1+1}=\frac{0}{2}=0;$ $y_{M}=\frac{-2+1\cdot (-2)}{1+1}=-\frac{4}{2}=-2;$ $z_{M}=\frac{3+1\cdot 4}{1+1}=\frac{7}{2}=3,5$ .♦

Приклад

Знайти $|\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|$ , якщо $\vec{a}\perp \vec{b}$ та $|\vec{a}|=1,\; |\vec{b}|=2$ .

♦ Нехай $\vec{a}(a_{x};a_{y};a_{z})$ , $\vec{b}(b_{x};b_{y};b_{z})$ . Тоді: $2\vec{a}(2a_{x};2a_{y};2a_{z})$ , $3\vec{a}(3a_{x};3a_{y};3a_{z})$ , $2\vec{b}(2b_{x};2b_{y};2b_{z})$ , $2\vec{a}-\vec{b}=(2a_{x}-b_{x};2a_{y}-b_{y};2a_{z}-b_{z})$ $3\vec{a}+2\vec{b}=(3a_{x}+2b_{x};3a_{y}+2b_{y};3a_{z}+2b_{z})$ $|\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|=|\left(2a_{x}-b_{x} \right)\left(3a_{x}+2b_{x} \right)+$ $+\left(2a_{y}-b_{y} \right)\left(3a_{y}+2b_{y} \right)+\left(2a_{z}-b_{z} \right)\left(3a_{z}+2b_{z} \right)|=$ $=|6a_{x}^{2}-3a_{x}b_{x}+4a_{x}b_{x}-2b_{x}^{2}+6a_{y}^{2}-3a_{y}b_{y}+4a_{y}b_{y}-$ $-2b_{y}^{2}+6a_{z}^{2}-3a_{z}b_{z}+4a_{z}b_{z}-2b_{z}^{2}|=$ $=|6\left( a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}\right)+\left(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} \right)-2\left(b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2} \right)|$ (*) $|\vec{a}|=\sqrt{ a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}\Rightarrow a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}=|\vec{a}|^{2};$ $|\vec{b}|=\sqrt{ b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}\Rightarrow b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}=|\vec{b}|^{2};$ $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z};$ $\vec{a}\perp \vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0\Rightarrow a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0;$ Підставимо отримані значення в рівність (*) і отримаємо: $|\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|=|6\cdot 1^{2}+0-2\cdot 2^{2}|=$ $=|6+0-8|=|-2|=2$ ♦

Приклад

Знайти ранг системи векторів

♦ $\vec{a}(1;2;-1)$ , $\vec{b}(3;-1;-2)$ , $\vec{c}(-2;4;1)$ , $\vec{d}(-1;-1;2)$ та записати будь-яку базу.

Запишемо матрицю, складену з координат заданих векторів та обчислимо її ранг шляхом елементарних перетворень:

$\begin{pmatrix} 1 &2 &-1 \\ 3 & -1 &-2 \\ -2 &4 &1 \\ -1& -1 &2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 &-1 \\ 0 & -7 &1 \\ 0& 8 &-1 \\ 0 & 1 &1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 &-1 \\ 0 &1 &1 \\ 0 & -7 &1 \\ 0 & 8 &-1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 &-1 \\ 0 & 1 &1 \\ 0 & 0 & 8\\ 0 &0 & -9 \end{pmatrix}$

$rang \left<\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} \right>=4$

Оскільки ранг дорівнює 4, то до бази будуть входити всі 4 вектори, наприклад: $\left<\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} \right>$ ♦

Приклад

Визначити, при якому значенні λ вектори перпендикулярні

$\vec{c}(-2;4;1)$ та $\vec{d}(-1;\lambda ;2)$ .

♦За критерієм перпендикулярності, два вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. Тобто: $\vec{c}\perp \vec{d}\Leftrightarrow \vec{c}\cdot \vec{d}=0$ $\vec{c}\cdot \vec{d}=\left(-2;4;1 \right)\cdot \left(-1;\lambda ;2 \right)=2+4\lambda +2=$ $=4\lambda +4=0\Rightarrow 4\lambda =-4\Rightarrow \lambda =-1$ При $\lambda =-1\; \vec{c}\perp \vec{d}$ .♦

Приклад

Знайти площу трикутника, побудованого на векторах

$\vec{a}(1;2;-1)$ , $\vec{b}(3;-1;-2)$ як на сторонах.

♦Площу трикутника можна визначити через векторний добуток векторів, на яких він побудований: $S_{\Delta }=\frac{1}{2}|\vec{a}\times \vec{b}|=$

$=| \begin{vmatrix} a_{y} &a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix} a_{x} &a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} a_{x} &a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{vmatrix} \vec{k}|=$

$=| \begin{vmatrix} 2 &-1 \\ -1 &-2 \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 3 & -2 \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}\vec{k}|=$

$=|\left(-4-1 \right)\vec{i}-\left(-2+3 \right)\vec{j}+\left(-1-6 \right)\vec{k}|=$ $=|-5\vec{i}-\vec{j}-7\vec{k}|=\sqrt{\left(-5 \right)^{2}+1^{2}+\left(-7 \right)^{2}}=$ $=\sqrt{25+1+49}=\sqrt{75}=5\sqrt{5}$ (кв. од.)♦

Приклад

Визначити орієнтацію заданої трійки векторів:

$\vec{a}(1;2;-1)$ , $\vec{b}(3;-1;-2)$ , $\vec{c}(-2;4;1)$ .

♦ Знайдемо мішаний добуток цих векторів та визначимо його знак.

$\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}=\begin {vmatrix} 1 &2 &-1 \\ 3 &-1 &-2 \\ -2 &4 &1 \end {vmatrix}=-1<0$

Оскільки мішаний добуток від’ємний, то вектори утворюють ліву трійку векторів.♦

Приклад

Знайти об’єм тетраедра, побудованого на векторах

$\vec{a}(1;2;-1)$ , $\vec{b}(3;-1;-2)$ , $\vec{c}(-2;4;1)$ .

♦ Об’єм тетраедра можна обчислити за формулою

$V=\frac{1}{6}\left|\vec{a} \cdot \vec{b}\cdot \vec{c}\right|=$

$=\frac{1}{6}|\begin{vmatrix} 1 &2 &-1 \\ 3 &-1 &-2 \\ -2 &4 &1 \end{vmatrix}|=$

$=\frac{1}{6}\left|-1+8-12+2+8-6 \right|=\frac{1}{6}\left|-1 \right|=\frac{1}{6}$ (куб. од.)♦

Приклад

Перевірити чи компланарні вектори

$\vec{a}=\left(8;6;4 \right),\; \vec{b}=\left(10;5;5 \right),\; \vec{c}=\left(5;1;0 \right)$ .

♦ $\vec{a}\cdot \left(\vec{b}\times \vec{c} \right)=\begin{vmatrix} 8 &6 &4 \\ 10 &5 &5 \\ 5 &1 &0 \end{vmatrix}= 8\cdot 5\cdot 0+ 6\cdot 5\cdot 5+$

$+ 10\cdot 1\cdot 4- 4\cdot 5\cdot 5- 5\cdot 1\cdot 8- 10\cdot 6\cdot 0=$

$=0+150+40-100-40=50\neq 0$ .

Отже, вектори не компланарні.♦

Приклад

Задано трикутник АВС координатами його вершин А (10; -4; 6), В (-6; 2; 16), С (-2; -10; 10). Знайти внутрішній кут трикутника при вершині А, довжину висоти СН та обчислити його площу.

♦ Внутрішній кут трикутника ∠А будемо шукати як кут між векторами $\bar{AB}$ та $\bar{AC}$ .

cos ∠A = $\frac{\bar{AB}\cdot \bar{AC}}{\left|\bar{AB} \right|\left|\bar{AC} \right|}$

$\bar{AB}=(-16;6;10)$ ,

$\bar{AC}=(-12;-6;4)$ ,

$\left|\bar{AB} \right|=\sqrt{(-16)^{2}+6^{2}+10^{2}}=14\sqrt{2}$ ,

$\left|\bar{AC} \right|=\sqrt{(-12)^{2}+(-6)^{2}+4^{2}}=14$ ,

$\frac{\bar{AB}\cdot \bar{AC}}{\left|\bar{AB} \right|\left|\bar{AC} \right|}=\frac{-16\cdot (-12)+6\cdot (-6)+10\cdot 4}{14\sqrt{2}\cdot 14}=\frac{196}{196\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Отже, cos ∠A = $\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow$ ∠A = 45^о.

Знайдемо площу трикутника АВС за формулою:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|\bar{AB} \right|\cdot \left|\bar{AC} \right|sin<A = \frac{1}{2}\cdot 14\sqrt{2}\cdot 14\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=24.5$ (кв. од.)

З іншого боку: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB \cdot CH$ . Тому: $CH = \frac{2S_{\Delta ABC}}{AB}=\frac{196}{14\sqrt{2}}=7\sqrt{2}$ (од.) ♦

Приклад

Дано три вершини паралелограма ABCD: А (2; -1; -3), В (6; 0; -5) та С (4; 5; 1). Знайти координати його четвертої вершини D, вектор $\bar{AD}$ та напрямні косинуси цього вектора.

♦ Нехай точка $M (x_{1}; y_{1};z_{1})$ – це точка перетину діагоналей паралелограма. Оскільки М є серединою відрізка ВС, то її координати знайдемо за формулами: $x_{1}=\frac{2+4}{2}=3,\; y_{1}=\frac{-1+5}{2}=2,\; z_{1}=\frac{-3+1}{2}=-1$ ⇒ М (3; 2; -1).

Точка М є також серединою діагоналі BD, За такими ж формулами визначаємо координати точки D:

$3=\frac{6+x}{2}, \; 2=\frac{0+y}{2},\; -1=\frac{-5+z}{2}\; \Rightarrow x=0,\; y=-4,\; z=3$ ⇒ D (0; -4; 3).

Знаходимо вектор $\bar{AD}=(0-2;-4-(-1);3-(-3))=(-2;-3;6)$ .

Щоб знайти напрямні косинуси, необхідно знайти довжину вектора $\bar{AD}$ :

$\left| \bar{AD} \right|=\sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}=7$ .

За формулами для обчислення напрямних косинусів маємо:

$cos \alpha = \frac{-2}{7},\; cos\beta =\frac{-3}{7},\; cos\gamma =\frac{6}{7}$ . ♦

Приклад

Перевірити чи є чотирикутник ABCD квадратом, якщо його вершини задані своїми координатами:

A (-6; -4; 2), B (14; 16; 12), C (-8; 36; 16), D (-28; 16; 6).

♦ Запишемо вектори сторін даного чотирикутника:

$\bar{AB}= (20; 20; 10),\;$ $\bar{BC}= (-22; 20; 4),\;$ $\bar{CD}= (-20; -20; -10),\;$ $\bar{AD}= (-22; 20; 10),\;$ Бачимо, що: $\bar{AB}= - \bar{CD},\; \bar{BC}=\bar{AD}$ Знайдемо довжини цих векторів: $\left|\bar{AB} \right|= \sqrt{20^{2}+20^{2}+10^{2}}= 30,$ $\left|\bar{BC} \right|= \sqrt{-22^{2}+20^{2}+4^{2}}= 30$ . Бачимо, що всі сторони чотирикутника рівні. Крім того : $\bar{AB} \cdot \bar{BC}= 20\cdot (-22) + 20\cdot 20+10\cdot 4=0 \; \Rightarrow \bar{AB} \perp \bar{BC}.$ . Отже, маємо чотирикутник, у якого всі сторони рівні, а кути прямі, тобто квадрат. ♦

Приклад

При яких значеннях змінних α та β вектори є колінеарними

$\bar{a}=(12;\alpha ;6),\; \bar{b}=(4;-5 ;\beta )$ ?

♦ За означеннями вектори $\bar{a}=(x_{1}; y_{1}; z_{1}),\; \bar{b}=(x_{2}; y_{2}; z_{2})$ є колінеарними, якщо виконується умова:

$\bar{a}=\lambda \bar{a}$ , тобто $x_{1}=\lambda x_{2},\; y_{1}=\lambda y_{2},\; z_{1}=\lambda z_{2}$ ⇒ $\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\lambda$ .

Значить, координати заданих векторів повинні бути пропорційними. А отже: $\frac{12}{4}=\frac{\alpha}{-10}=\frac{6}{\beta }=3$ . Маємо: $\alpha =-10\cdot 3 =-30$ , $\beta =\frac{6}{3}=2$ .

Тому вектори $\bar{a}=(12;-30;6) \; \bar{b}=(4;-10;2)$ – колінеарні. Причому однаково напрямлені, оскільки λ = 3 > 0. ♦

Приклад

Знайти довжину медіани СМ та бісектриси ВК у трикутнику, якщо його вершини задані своїми координатами А(-1;4;2), В(7;1;-3), С(10;-3;-2).

♦Оскільки СМ – медіана, то точка М – це середина сторони АВ заданого трикутника. Тому координати точки М (х₁; у₁; z₁) можемо знайти за формулами координат середини відрізка. Тобто:

$x_{1}=\frac{-1+4}{2}=1.5$ ;

$y_{1}=\frac{4+1}{2}=2.5$ ;

$z_{1}=\frac{2+3}{2}=2.5$ .

Маємо: М (1,5; 2,5; 2,5)

За формулою для обчислення довжини відрізка шукаємо довжину медіани СМ:

$CM = \sqrt{(10-1.5)^{2}+(-3-2.5)^{2}+(-2-2.5)^{2}}=\sqrt{8.5^{2}+(-5.5)^{2}+(-4.5)^{2}}=5\sqrt{4.91}$ .

Тепер обчислимо довжину бісектриси ВК. За властивістю бісектриси внутрішнього кута трикутника (бісектриса ділить протилежну сторону трикутника на відрізки пропорційні прилеглим бічним сторонам) маємо рівність: $\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}$ .

Знайдемо довжини сторін АВ та АС:

$AB=\sqrt{(-1-7)^{2}+(4-1)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{74}\approx 8.6$ ;

$AC=\sqrt{(-1-10)^{2}+(4+3)^{2}+(2+2)^{2}}=\sqrt{186}\approx 13.6$ .

Запишемо відношення цих сторін:

$\frac{AB}{AC}=\frac{8.6}{13.6}\approx0.6$ .

Це значить, що відношення $\frac{BK}{KC}=0,6$ . Тобто точка К ділить сторону ВС у відношенні λ=0,6.

Тоді за формулами координат точки, що ділить відрізок у заданому співвідношенні знаходимо координати точки К:

$x_{1} =\frac{4 +0.6\cdot 10}{1+0.6}=6.25$ ;

$x_{1} =\frac{1 +0.6\cdot (-3)}{1+0.6}=-0.5$ ;

$x_{1} =\frac{3 +0.6\cdot (-2)}{1+0.6}=1.125 \Rightarrow K(6.25; -0.5; 1.125)$ .

За формулою для обчислення довжини відрізка знаходимо довжину бісектриси АК:

$AK = \sqrt{(-1-6.25)^{2}+(4+0.5)^{2}+(2-1.125)^{2}}\approx \sqrt{73.6}\approx 8.6$ ♦