Функції, їхні властивості та графіки

Приклад

Обчислити:

а) $\left(9 \right)^{\frac{1}{2}}$ ;

б) $\left(-27 \right)^{\frac{2}{3}}$ ;

в) $\left(\frac{9}{25} \right)^{-\frac{3}{2}}$ ;

г) $\left(2\frac{14}{25} \right)^{-\frac{1}{2}}$ ;

д) $\left(-0,027 \right)^{\frac{1}{3}}$ ;

е) $4^{2\frac{1}{2}}$ .

♦ За означенням степеня з раціональним показником $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ . Користуючись цією формулою та властивостями степеня з від’ємним показником (див. задачу 1), обчислимо значення поданих виразів.

а) $\left(9 \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9}=3$ (пам’ятаємо, що корінь квадратний – це корінь другого степеня, де степінь 2 не записується).

б) $\left(-27 \right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(-27)^{2}}=\left(-3 \right)^{2}=9$ . (порядок добування кореня і піднесення до степеня не має значення, дії можна виконувати в будь-якому порядку; зазвичай добування кореня виконують першим, а потім отримане число підносять до степеня)

в) $\left(\frac{9}{25} \right)^{-\frac{3}{2}}=\left(\frac{25}{9} \right)^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{\left(\frac{25}{9} \right)^{3}}=\left(\frac{5}{3} \right)^{3}=\frac{25}{9}=2\frac{7}{9}$ . (за властивістю степеня з від’ємним показником, дріб перевертається при зміні знака показника)

г) $\left(2\frac{14}{25} \right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{64}{25} \right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{25}{64} \right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}$ .

д) $\left(-0,027 \right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-0,027}=-0,3$ .

е) $4^{2\frac{1}{2}}=4^{\frac{5}{2}}=\sqrt{4^{5}}=2^{5}=32$ .♦

Приклад

Розв’язати рівнняння:

а) $6^{2x+4}=3^{3x}\cdot 2^{x+8}$ ;

б) $2^{x-4}+2^{x-5}-2^{x-7}=704$ ;

в) $4^{x}-14^{x}\cdot 2=3\cdot 49^{x}$ .

♦ а) $6^{2x+4}=3^{3x}\cdot 2^{x+8}$ ;

$3^{2x+4}\cdot 2^{2x+4}=3^{3x}\cdot 2^{x+8}$ ;

$\frac{3^{2x+4}}{3^{3x}}=\frac{2^{x+8}}{2^{2x+4}}$ ;

$3^{2x+4-3x}=2^{x+8-2x-4}$ ;

$3^{4-x}=2^{4-x}$ ;

$\left( \frac{3}{2}\right)^{4-x}=1$ ;

$\left( \frac{3}{2}\right)^{4-x}=\left( \frac{3}{2}\right)^{0}$ ;

$4-x=0$ ;

$x=4$ .

б) $2^{x-4}+2^{x-5}-2^{x-7}=704$ ;

$2^{x-7}(2^{3}+2^{2}-1)=704$ ;

$2^{x-7}\cdot 11=704$ ;

$2^{x-7}=64$ ;

$2^{x-7}=2^{6}$ ;

$x-7=6$ ;

$x=13$ .

в) $4^{x}-14^{x}\cdot 2=3\cdot 49^{x}$ ;

$\frac{4^{x}}{49^{x}}-2\cdot \frac{14^{x}}{49^{x}}=3$ ;

$\left( \frac{2}{7}\right)^{x}-2\cdot \left(\frac{2}{7} \right)^{x}=3$ .

Нехай $\left( \frac{2}{7}\right)^{x}=t>0$ .

Тоді $t^{2}-2t-3=0$ ⇒ $t_{1}=-1<0,\; t_{2}=3$ . Отже, $\left(\frac{2}{7} \right)^{x}=3\Rightarrow x=log_{\frac{2}{7}}3$ .♦

Знайти область визначення функції:

а) y = 5x – 4;

б) $y=\frac{2x-5}{x^{2}-x}$ ;

в) $y=\frac{\sqrt{x}}{x^{2}-5x+6}$ .

♦ Область визначення – це множина всіх значень, яких може набувати змінна х.

а) Функція є лінійною (змінна х входить в першому степені). Отже, х може набувати будь-яких значень, тобто D(y): х∈R.

б) Функція є дробово-раціональною, а тому, щоб вона існувала, знаменник не повинен перетворюватися на нуль. Тобто:

x² – x ≠ 0;

x (x – 1) ≠ 0;

x ≠ 0 i x – 1 ≠ 0;

x ≠ 0 i x ≠ 1.

Отже, D(y): х∈(-∞; -1) ∪ (-1; 0) ∪ (0; +∞).

в) Функція є дробово-раціональною та містить радикал в чисельнику. Тому для її існування необхідне виконання двох умов: 1) знаменник не повинен дорівнювати нулю; 2) підкореневий вираз повинен бути більшим або рівним нулю. Отже: х² – 5х + 6 ≠ 0 та х ≥ 0.

х² – 5х + 6 ≠ 0;

х₁ ≠ 2, х₂ ≠ 3 (за теоремою Вієта) ⇒ х ∈ (-∞; 2) ∪ (2; 3) ∪ (3; +∞).

Враховуючи умову х ≥ 0, отримаємо: D(y): х ∈ [0; 2) ∪ (2; 3) ∪ (3; +∞).♦

Приклад

Знайти область визначення функції

$y=\sqrt{2-x}-\frac{5}{\sqrt{2x+8}}$ .

♦ Функція містить 2 підкореневих вирази. Вираз, який знаходиться під коренем не може бути від’ємним. Оскільки другий підкореневий вираз знаходиться у знаменнику дробу, то він не може дорівнювати нулю (на нуль ділити не можна), а це значить, що він строго додатній. Умови повинні виконуватися одночасно, а тому маємо систему двох нерівностей:

$\left\{\begin{matrix}2-x\geq 0,\\2x+8>0;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq 2,\\2x>-8;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq 2,\\x>-4.\end{matrix}\right.$

$x\in (-4;2]$ . Отже, D(y) = (-4; 2].♦

Приклад

Знайти область значень функції:

а) y = 3√x + 5;

б) у = -х²– 4х + 2.

♦ Область значень функції – це множина значень, яких може набувати змінна у.

а) √х ≥ 0 при будь-яких значеннях х. Тому 3√х ≥ 0, при будь-яких значеннях х. А значить 3√x + 5 ≥ 5. Тому: Е(у) = [5; + ∞).

б) Маємо квадратичну функцію. Виділимо повний квадрат тричлена:

-х²– 4х + 2 = – (х²+ 4х – 2) = – (х²+ 2·2·х + 4 – 4 – 2) = – ((х²+ 2·2·х + 4) – 6) = – ((х + 2)² – 6) = – (х + 2)² + 6.

Оскліьки, вираз (х + 2)²≥ 0 при будь-яких значеннях х, то – (х + 2)²≤ 0 при х∈R. Тоді, – (х + 2)² + 6 ≤ 6 для всіх значень х. Отримали: Е(у) = (-∞; 6].♦

Приклад

Знайти значення функції

$y=\sqrt{2-x}-\frac{5}{\sqrt{2x+8}}$ в точці х = -1.

♦ Для того, щоб знайти значення функції в точці х = -1, потрібно у записі функції замість х поставити значення -1 та обчислити, тобто:

$y(-1)=\sqrt{2-(-1)}-\frac{5}{\sqrt{2\cdot (-1)+8}}=\sqrt{2+1}-\frac{5}{\sqrt{-2+8}}=$

$=\sqrt{3}-\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{18}-5}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{6}}$ .♦

Приклад

Дослідити функцію на парність:

а) $y = 5x^{4}-6x^{8}-x^{2}$ ;

б) $y=3x^{7}-2x^{3}+x$ ;

в) $y=\frac{3x^{2}-2}{x^{2}-25}$ ;

г) $y=\frac{6x^{2}-x^{5}}{x-1}$ .

♦ За означенням, функція парна, якщо у(-х) = у(х), непарна, якщо у(-х) = -у(х). В іншому випадку функція ні парна, ні непарна. Підставимо в кожну функцію – х замість х та дослідимо її знак.

а) $y(-x) = 5(-x)^{4}-6(-x)^{8}-(-x)^{2}=5x^{4}-6x^{8}-x^{2}=y(x)$ . Отже, функція парна.

б) $y(-x)=3(-x)^{7}-2(-x)^{3}+(-x) =-3x^{7}+2x^{3}-x=$

$=-(3x^{7}-2x^{3}+x)=-y(x)$ . Отже, функція непарна.

в) $y(-x)=\frac{3(-x)^{2}-2}{(-x)^{2}-25}=\frac{3x^{2}-2}{x^{2}-25}=y(x)$ . отже, функція парна.

г) $y(-x)=\frac{6(-x)^{2}-(-x)^{5}}{-x-1}=\frac{6x^{2}+x^{5}}{-x-1}=$

$=-\frac{6x^{2}+x^{5}}{x+1}\neq -y(x) \; i\; \neq y(x)$ . Отже, функція ні парна, ні непарна.♦

Приклад

Побудувати графіки функцій:

а) y = -7x + 4;

б) y = – x²+ 8x – 15 ;

в) y = $\frac{4}{x^{2}}$ .

♦ а) y = -7x + 4.

Задана функція є лінійною. Графіком такої функції є пряма. Тому для побудови графіка достатньо взяти дві точки. Складемо таблицю:

x	0	1
y	4	-3

б) y = – x²+ 8x – 15.

Задана функція є квадратичною Графіком її є парабола. Для побудови параболи знайдемо координати вершини та точки перетину графіка функції з осями координат.

Вершини параболи: х_в = -b / 2a = – 8 : (-2) = 4, y_в = – 4²+ 8·4 – 15 = 1.

Перетин з осями:

з віссю Оу (х = 0) ⇒ у = -15;

з віссю Ох (у = 0) ⇒ – x²+ 8x – 15 = 0;

x²– 8x + 15 = 0;

х₁ = 5, х₂ = 3 (за теоремою Вієта).

Оскільки коефіцієнт перед х² від’ємний (-1), то вітки параболи направлені вниз.

Будуємо графік функції:

в) Функція задає обернену пропорційність. Графіком такої функції є гіпербола. Областю визначення такої функції є х ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) (х не може дорівнювати нулю, оскільки знаходиться в знаменнику). Так як будь-яке число, піднесенне до квадрата, завжди дадатне, то функція набуває завжди додатних значень. В нуль функція не перетворюється при жодному значення аргумента. Отже, вітки гіперболи будуть розташовані у І та ІІ чвертях. Для більш детальної побудови складемо таблицю:

х	-4	-2	-1	-0,5	0,5	1	2	4
у	0,25	1	4	16	16	4	1	0,25

За складеною таблицею будуємо графік функції.

Приклад

Знайти область визначення функції

$y=\sqrt{2-x}-\frac{5}{\sqrt{2x+8}}$ та обчислити f(-1).

♦ Підкореневий вираз завжди повинен бути невід’ємним. Якщо підкореневий вираз знаходиться у знаменнику дробу, то він не може дорівнювати нулю. Тому маємо наступні обмеження:

$\left\{\begin{matrix}2-x\geq 0,\\2x8>0;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq 2,\\2x>8;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq 2,\\x>4.\end{matrix}\right.$ .

Отже, D(y) = (-4; 2].

Знайдемо значення функції в точці х = -1. Для цього у функцію замість х підставимо значення -1. Маємо:

$f(-1)=\sqrt{2-(-1)}-\frac{5}{\sqrt{2\cdot (-1)}+8}=$

$=\sqrt{2+1}-\frac{5}{\sqrt{-2+8}}=$

$=\sqrt{3}-\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{18}-5}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{6}}$ .♦