Функції, їхні властивості та графіки

Приклад 

Обчислити: 

а)  \left(9 \right)^{\frac{1}{2}} ;    

б) \left(-27 \right)^{\frac{2}{3}}  ;    

в) \left(\frac{9}{25} \right)^{-\frac{3}{2}}  ;

г)  \left(2\frac{14}{25} \right)^{-\frac{1}{2}} ;    

д)   \left(-0,027 \right)^{\frac{1}{3}} ;  

 е)  4^{2\frac{1}{2}} .

♦ За означенням степеня з раціональним показником  a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}} . Користуючись цією формулою та властивостями степеня з від’ємним показником (див. задачу 1), обчислимо значення поданих виразів.

а)  \left(9 \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9}=3 (пам’ятаємо, що корінь квадратний – це корінь другого степеня, де степінь 2 не записується).

б)  \left(-27 \right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(-27)^{2}}=\left(-3 \right)^{2}=9 . (порядок добування кореня і піднесення до степеня не має значення, дії можна виконувати в будь-якому порядку; зазвичай добування кореня виконують першим, а потім отримане число підносять до степеня)

в)  \left(\frac{9}{25} \right)^{-\frac{3}{2}}=\left(\frac{25}{9} \right)^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{\left(\frac{25}{9} \right)^{3}}=\left(\frac{5}{3} \right)^{3}=\frac{25}{9}=2\frac{7}{9} . (за властивістю степеня з від’ємним показником, дріб перевертається при зміні знака показника)

г)  \left(2\frac{14}{25} \right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{64}{25} \right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{25}{64} \right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8} .

д)  \left(-0,027 \right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-0,027}=-0,3 .

е)  4^{2\frac{1}{2}}=4^{\frac{5}{2}}=\sqrt{4^{5}}=2^{5}=32 .♦

Приклад

Розв’язати рівнняння:  

а)  6^{2x+4}=3^{3x}\cdot 2^{x+8} ;

б)  2^{x-4}+2^{x-5}-2^{x-7}=704 ;

в)  4^{x}-14^{x}\cdot 2=3\cdot 49^{x} .

♦ а)  6^{2x+4}=3^{3x}\cdot 2^{x+8} ;

 3^{2x+4}\cdot 2^{2x+4}=3^{3x}\cdot 2^{x+8} ;

  \frac{3^{2x+4}}{3^{3x}}=\frac{2^{x+8}}{2^{2x+4}} ;

  3^{2x+4-3x}=2^{x+8-2x-4} ;

  3^{4-x}=2^{4-x} ;

  \left( \frac{3}{2}\right)^{4-x}=1 ;

  \left( \frac{3}{2}\right)^{4-x}=\left( \frac{3}{2}\right)^{0} ;

  4-x=0 ;

  x=4 .

б)   2^{x-4}+2^{x-5}-2^{x-7}=704 ;  

 2^{x-7}(2^{3}+2^{2}-1)=704 ;  

 2^{x-7}\cdot 11=704 ;  

 2^{x-7}=64 ;  

 2^{x-7}=2^{6} ;  

 x-7=6 ;  

 x=13 .

в)  4^{x}-14^{x}\cdot 2=3\cdot 49^{x}

 \frac{4^{x}}{49^{x}}-2\cdot \frac{14^{x}}{49^{x}}=3

 \left( \frac{2}{7}\right)^{x}-2\cdot \left(\frac{2}{7} \right)^{x}=3 .

Нехай  \left( \frac{2}{7}\right)^{x}=t>0 .

Тоді   t^{2}-2t-3=0  t_{1}=-1<0,\; t_{2}=3 . Отже,   \left(\frac{2}{7} \right)^{x}=3\Rightarrow x=log_{\frac{2}{7}}3.♦

Знайти область визначення функції:

а) y = 5x – 4;

 б)  y=\frac{2x-5}{x^{2}-x};  

в)  y=\frac{\sqrt{x}}{x^{2}-5x+6}

♦ Область визначення – це множина всіх значень, яких може набувати змінна х.

а) Функція є лінійною (змінна х входить в першому степені). Отже, х може набувати будь-яких значень, тобто D(y): х∈R.

б) Функція є дробово-раціональною, а тому, щоб вона існувала, знаменник не повинен перетворюватися на нуль. Тобто:

x2 – x ≠ 0;

x (x – 1) ≠ 0;

x ≠ 0 i x – 1 ≠ 0;

x ≠ 0 i x ≠ 1.

Отже, D(y): х∈(-∞; -1) ∪ (-1; 0) ∪ (0; +∞).

в) Функція є дробово-раціональною та містить радикал в чисельнику. Тому для її існування необхідне виконання двох умов: 1) знаменник не повинен дорівнювати нулю; 2) підкореневий вираз повинен бути більшим або рівним нулю. Отже: х2 – 5х + 6 ≠ 0 та х ≥ 0.

 х2 – 5х + 6 ≠ 0;  

х1 ≠ 2, х2 ≠ 3 (за теоремою Вієта) ⇒ х ∈ (-∞; 2) ∪ (2; 3) ∪ (3; +∞).

Враховуючи умову х ≥ 0, отримаємо: D(y): х ∈ [0; 2) ∪ (2; 3) ∪ (3; +∞).

Приклад 

Знайти область визначення функції

 y=\sqrt{2-x}-\frac{5}{\sqrt{2x+8}} .

♦ Функція містить 2 підкореневих вирази. Вираз, який знаходиться під коренем не може бути від’ємним. Оскільки другий підкореневий вираз знаходиться у знаменнику дробу, то він не може дорівнювати нулю (на нуль ділити не можна), а це значить, що він строго додатній. Умови повинні виконуватися одночасно, а тому маємо систему двох нерівностей:

 \left\{\begin{matrix}2-x\geq 0,\\2x+8>0;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq 2,\\2x>-8;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq 2,\\x>-4.\end{matrix}\right.

 x\in (-4;2] . Отже, D(y) = (-4; 2].

Приклад 

Знайти область значень функції:

а) y = 3√x + 5;

б) у = -х– 4х + 2. 

♦ Область значень функції – це множина значень, яких може набувати змінна у.

а) √х ≥ 0 при будь-яких значеннях х. Тому 3√х ≥ 0, при будь-яких значеннях х. А значить 3√x + 5 ≥ 5. Тому: Е(у) = [5; + ∞).

б) Маємо квадратичну функцію. Виділимо повний квадрат тричлена: 

– 4х + 2 = – (х+ 4х – 2) = – (х+ 2·2·х + 4 – 4 – 2) = – ((х+ 2·2·х + 4) – 6) = – ((х + 2)2 – 6) =  – (х + 2)2 + 6.

Оскліьки, вираз (х + 2)≥ 0 при будь-яких значеннях х, то – (х + 2)≤ 0 при х∈R. Тоді, – (х + 2)2 + 6 ≤ 6 для всіх значень х. Отримали: Е(у) = (-∞; 6].

Приклад

Знайти значення функції

 y=\sqrt{2-x}-\frac{5}{\sqrt{2x+8}} в точці х = -1.

♦ Для того, щоб знайти значення функції в точці х = -1, потрібно у записі функції замість х поставити значення -1 та обчислити, тобто:

 y(-1)=\sqrt{2-(-1)}-\frac{5}{\sqrt{2\cdot (-1)+8}}=\sqrt{2+1}-\frac{5}{\sqrt{-2+8}}=

 =\sqrt{3}-\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{18}-5}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{6}} .♦ 

Приклад 

Дослідити функцію на парність:

а)   y = 5x^{4}-6x^{8}-x^{2};

б)  y=3x^{7}-2x^{3}+x ;

в)  y=\frac{3x^{2}-2}{x^{2}-25} ;

г)  y=\frac{6x^{2}-x^{5}}{x-1} .

♦ За означенням, функція парна, якщо у(-х) = у(х), непарна, якщо у(-х) = -у(х). В іншому випадку функція ні парна, ні непарна. Підставимо в кожну функцію – х замість х та дослідимо її знак.

а)  y(-x) = 5(-x)^{4}-6(-x)^{8}-(-x)^{2}=5x^{4}-6x^{8}-x^{2}=y(x) . Отже, функція парна.

б)  y(-x)=3(-x)^{7}-2(-x)^{3}+(-x) =-3x^{7}+2x^{3}-x=

=-(3x^{7}-2x^{3}+x)=-y(x) . Отже, функція непарна.

в)  y(-x)=\frac{3(-x)^{2}-2}{(-x)^{2}-25}=\frac{3x^{2}-2}{x^{2}-25}=y(x) . отже, функція парна. 

г)  y(-x)=\frac{6(-x)^{2}-(-x)^{5}}{-x-1}=\frac{6x^{2}+x^{5}}{-x-1}=

 =-\frac{6x^{2}+x^{5}}{x+1}\neq -y(x) \; i\; \neq y(x) . Отже, функція ні парна, ні непарна.♦

Приклад 

Побудувати графіки функцій:

а) y = -7x + 4;

б) y = – x+ 8x – 15 ;

в) y =  \frac{4}{x^{2}} .

♦ а) y = -7x + 4.

Задана функція є лінійною. Графіком такої функції є пряма. Тому для побудови графіка достатньо взяти дві точки. Складемо таблицю: 

x01
y4-3

Функції, їхні властивості та графіки

б) y = – x+ 8x – 15.

Задана функція є квадратичною Графіком її є парабола. Для побудови параболи знайдемо координати вершини та точки перетину графіка функції з осями координат.

Вершини параболи: хв = -b / 2a = – 8 : (-2) = 4, yв = – 4+ 8·4 – 15 = 1.

Перетин з осями:

з віссю Оу (х = 0) ⇒ у = -15;

з віссю Ох (у = 0) ⇒ – x+ 8x – 15 = 0; 

x– 8x + 15 = 0;

х1 = 5, х2 = 3 (за теоремою Вієта).

Оскільки коефіцієнт перед х2 від’ємний (-1), то вітки параболи направлені вниз.

Будуємо графік функції: 

Функції, їхні властивості та графіки

в) Функція задає обернену пропорційність. Графіком такої функції є гіпербола. Областю визначення такої функції є х ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) (х не може дорівнювати нулю, оскільки знаходиться в знаменнику). Так як будь-яке число, піднесенне до квадрата, завжди дадатне, то функція набуває завжди додатних значень. В нуль функція не перетворюється при жодному значення аргумента. Отже, вітки гіперболи будуть розташовані у І та ІІ чвертях. Для більш детальної побудови складемо таблицю: 

х-4-2-1-0,50,5124
у0,25141616410,25

За складеною таблицею будуємо графік функції.

Функції, їхні властивості та графіки

Приклад 

Знайти область визначення функції

  y=\sqrt{2-x}-\frac{5}{\sqrt{2x+8}}   та обчислити f(-1).

♦ Підкореневий вираз завжди повинен бути невід’ємним. Якщо підкореневий вираз знаходиться у знаменнику дробу, то він не може дорівнювати нулю. Тому маємо наступні обмеження: 

 \left\{\begin{matrix}2-x\geq 0,\\2x8>0;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq 2,\\2x>8;\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq 2,\\x>4.\end{matrix}\right. .

Отже, D(y) = (-4; 2].

Знайдемо значення функції в точці х = -1. Для цього у функцію замість х підставимо значення -1. Маємо: 

 f(-1)=\sqrt{2-(-1)}-\frac{5}{\sqrt{2\cdot (-1)}+8}=

 =\sqrt{2+1}-\frac{5}{\sqrt{-2+8}}=

 =\sqrt{3}-\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{18}-5}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{6}} .