Пряма лінія на координатній площині

Приклад

Задано вершини трикутника їхніми координатами А(-1; -3), В(-4; -1) та С (-2; -2). Записати рівняння медіани, проведеної з вершини В.

♦ Рівняння медіани ВМ запишемо як рівняння прямої, що проходить через дві точки В і М. Оскільки ВМ – медіана, то точка В є серединою сторони АС. А тому її координати знайдемо за формулами координат середини відрізка:

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-1-2}{2}=-1,5$ ,

$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{-3-2}{2}=-2,5$ .

Тобто, т. М (-1,5; -2,5).

Запишемо рівняння медіани ВМ:

$\frac{x-x_{B}}{x_{M}-x_{B}}=\frac{y-y_{B}}{y_{M}-y_{B}}$ ;

$\frac{x+4}{-1,5+4}=\frac{y+1}{-2,5+1}$ ;

$-1,5x-6=2,5y+2,5$ ;

$-1,5x-2,5y-8,5=0$ ;

$3x+5y+17=0$ .

Отже, ВМ: $3x+5y+17=0$ – рівняння шуканої медіани.♦

Приклад

Задано вершини трикутника їхніми координатами А(-1; -3), В(-4; -1) та С (-2; -2). Записати рівняння висоти, проведеної з вершини В.

♦ Запишемо спочатку рівняння прямої АС. Рівняння прямої, що проходить через дві точки, має вигляд:

$\frac{x-x_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{C}-y_{A}}$ ⇒

$\frac{x+1}{-2+1}=\frac{y+3}{-2+3}$ ⇒

$x+1=-y-3$ ,

$x+y+4=0$ .

Отже, АС: $AC:x+y+4=0$ .

Вектор нормалі цієї прямої $\vec{n}(1;1)$ можна взяти за напрямний вектор $\vec{u}$ висоти, проведеної з вершини В (-4; -1). Рівняння прямої, що проходить через задану точку, паралельно заданому вектору, має вигляд:

$\frac{x-x_{B}}{x_{\vec{n}}}=\frac{y-y_{B}}{y_{\vec{n}}}$ ,

$\frac{x+4}{1}=\frac{y+1}{1}$ ,

$x+4=y+1$ .

Отже, $h:x-y+3=0$ .♦

Приклад

У трикутнику АВС задано координати вершини А (-1; -3) та векторів

$\vec{AB}(-3;2)$ і $\vec{AC}(-1;1)$ . Знайти:

а) координати вершин В і С;

б) кут при вершині А;

в) рівняння висоти, проведеної з вершини В;

г) рівняння медіани, проведеної з вершини В;

Зробити рисунок.

♦ а) $x_{\vec{AB}}=x_{B}-x_{A},\; y_{\vec{AB}}=y_{B}-y_{A},\;$

$x_{B}=x_{\vec{AB}}+x_{A},\;y_{B}=y_{\vec{AB}}+y_{A},\;$

$x_{B}=-3-1=-4,\; y_{B}=2-3=-1\Rightarrow B(-4;-1)$

$x_{\vec{AC}}=x_{C}-x_{A},\; y_{\vec{AC}}=y_{C}-y_{A},\;$

$x_{C}=x_{\vec{AC}}+x_{A},\;y_{C}=y_{\vec{AC}}+y_{A},\;$

$x_{C}=-1-1=-2,\; y_{C}=1-3=-2\Rightarrow C(-2;-2)$ .

б) Кут при вершині А – це кут між векторами $\vec{AB}$ та $\vec{AC}$ .

$cosA=\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{\left| \vec{AB}\right|\cdot \left|\vec{AC} \right|}=\frac{-3\cdot (-1)+2\cdot 1}{\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}\cdot \sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}}=$

$=\frac{3+2}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\approx \frac{5}{5,09}\approx 1\Rightarrow < A\approx 1^{0}$ .

в) Рівняння сторони АС – рівняння прямої, що проходить через точки А та С.

$\frac{x-x_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{C}-y_{A}}\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{x+1}{-2+1}=\frac{y+3}{-2+3}\Rightarrow$

$\Rightarrow x+1=-y-3,$

$x+y+4=0.$ .

Отже, АС: х + у + 4 = 0.

Вектор нормалі цієї прямої $\vec{n}(1;1)$ можна взяти за напрямний вектор $\vec{u}$ висоти, проведеної з вершини В (-4;-1):

$\frac{x+4}{1}=\frac{y+1}{1},$

$x+4=y+1,$

$h:x-y+3=0.$ .

г) Знайдемо координати точки М – середини сторони АС.

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-1-2}{2}=-1,5;$

$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{-3-2}{2}=-2,5;$ .

Тобто М(-1,5; -2,5).

Запишемо рівняння медіани – рівняння прямої, що проходить через т. М та т. В.

$\frac{x-x_{B}}{x_{M}-x_{B}}=\frac{y-y_{B}}{y_{M}-y_{B}};$ ;

$\frac{x+4}{-1,5+4}=\frac{y+1}{-2,5+1};$ ;

$-1,5x-6=2,5y+2,5;$ ;

$-1,5x+2,5y-8,5=0,\; /:\left(-\frac{1}{2} \right)$ ;

$3x+5y+17=0.$ .

Отже, ВМ: 3х + 5у +17=0.

Зробимо малюнок.♦ Пряма лінія на координатній площині

Приклад

Знайти координати точки, симетричної точці А(5; 7) відносно прямої, що проходить через точки С (0; 2) та D (6; -1).

♦ Запишемо рівнняння прямої, відносно якої потрібно шукати симетричну точку, як рівняння прямої, що проходить через дві точки:

$l:\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}};$

$\frac{x-0}{6-0}=\frac{y-2}{-1-2};$

$\frac{x}{6}=\frac{y-2}{-3};$

$-3x=6y-12;$

$x=-2y+4;$

$x+2y-4=0.$

Нехай A’ (x; y) симетрична точці А (5;7) відносно прямої l. Розглянемо пряму A’A, що проходить через точку А перпендикулярно до прямої l. Її напрямним вектором є $\vec{n}(1;2)$ . Отже, її рівняння має вигляд:

$\frac{x-x_{1}}{x_{n}}=\frac{y-y_{1}}{y_{n}};$

$\frac{x-5}{1}=\frac{y-7}{2};$

$2x-10=y-7;$

$2x-y-3=0.$

Знайдемо точку перетину l та А’А, розв’язавши систему рівнянь:

$\begin {cases} 2x-y-3=0, \\ x+2y-4=0; \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} 2x-y-3=0, \\ -2x-4y+8=0; \end {cases} \Rightarrow$

$\Rightarrow \begin {cases} 2x-y-3=0, \\ -5y+5=0; \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} y=1, \\ 2x=4; \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x=2, \\ y=1; \end {cases}$

Точка (2; 1) є серединою А’А. Визначимо координати точки А’ з рівнянь координат середини відрізка:

$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{A'}}{2},\; y_{C}=\frac{y_{A}+y_{A'}}{2},$

$2=\frac{5+x_{A'}}{2};\; 1=\frac{7+y_{A'}}{2},$

$5+x_{A'}=4;\; 7+y_{A'}=2,$

$x_{A'}=-1;\; y_{A'}=-5.$

A’ (-1; -5) – шукана точка.♦

Приклад

Дано вершини трикутника АВС: А(3;1), В(6;3), С(4;6). Записати рівнянн висоти трикутника AF.

♦ Для того, щоб записати рівняння висоти AF, потрібно записати рівняння прямої, що проходить через точку А, перпендикулярно до сторони ВС.

Тобто, пряма AF вектором нормалі має вектор $\vec{BC}=(4-6;6-3)$ .

Тому, AF: $-2(x-x_{A})+3(y-y_{A})=0$

$-2(x-3)+3(y-1)=0$

$-2x+6+3y-3=0$

$-2x+3y+3=0$ – шукане рівняння висоти AF. ♦

Приклад

Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих 3 х -2 у + 4 = 0, 2 х + у – 6 =0 та паралельна прямій у = 3 х + 5.

♦ Запишемо рівняння жмутка прямих із центром у точці перетину двох заданих прямих:

3 х -2 у + 4 + λ (2 х + у – 6) = 0.

При певному значенні λ це рівняння визначає шуану пряму lю Перепишемо його в наступному вигляді:

(3 + 2λ) х + (-2 + λ) у + (4 – 6 λ) = 0, ⇔ $y = \frac{3+2\lambda }{2-\lambda }x+\frac{4-6\lambda }{2-\lambda }$ . Кутовий коефіцієнт даної прямої $k = \frac{3+2\lambda }{2-\lambda }$ .

Оскільки пряма l паралельна прямій у = 3 х + 5, то їх кутові коефіцієнти однакові, тобто k = 3. Значить:

$\frac{3+2\lambda }{2-\lambda }=3\; \Leftrightarrow \; 3+2\lambda =6-3\lambda \; \Leftrightarrow \lambda =0.6$ .

Підставимо значення λ = 0,6 у рівняння жмутка прямих і запишемо рівняння шуканої прямої:

(3 + 2λ) х + (-2 + λ) у + (4 – 6 λ) = (3 + 1,2) х + (-2 + 0,6) у + (4 – 3,6) =0 ⇔ 4,2 х -1,4 у +0,4 = 0. ♦

Приклад

Знайти точку, симетричну даній F( -3; -2) відносно прямої

k : x – 3 y + 4 = 0.

♦ Нехай точка G (x₁ ; y ₁) симетрична точці F відносно прямої k. Розглянемо пряму FG, що проходить через точку F, перпендикулярно до прямої k. Вектор $\bar{g}=(1;-3)$ є напрямним для прямої FG. Отже, рівняння цієї прямої матиме вигляд: $\frac{x+3}{1}=\frac{y+2}{-3}\Leftrightarrow 3x+y-11=0.$

Знайдемо точку S (x; y) – точку перетину прямих FG та k, розв’язавши систему рівнянь:

$\begin{cases} x-3y+4=0; & \text{ } \\ y+3x-11=0,& \text{ } \end{cases}$

⇔ $x=\frac{77}{30},\; y=3.3.$

Точка $S(\frac{77}{30};3,3)$ має бути серединою відрізка FG, тому за формулами середини відрізка дістаємо:

$\frac{77}{30}=\frac{-3+x_{1}}{2},\; 3,3=\frac{-2+y_{1}}{2}\Leftrightarrow x_{1}=8\frac{4}{3}, \; y_{1}=8,6.$

Отже, $G (8\frac{4}{3};8,6)$ – шукана точка. ♦

Приклад

Відомо, що точки А (1;-2), В (5; 4), С (-2; 0) є вершинами трикутника АВС. Для цього трикутника записати:

а) рівняння медіани СМ;

б) рівняння висоти ВН;

в) рівняння бісектриси АР;

г) довжину висоти ВН.

♦ Точка М (х₁; у₁) – середина сторони АВ. Тому: $x_{1}=\frac{1+5}{2}=3,\; y_{1}=\frac{-2+4}{2}=1\;\Rightarrow M (3;1)$

Тепер можемо записати рівняння медіани СМ:

$\frac{x+2}{3+2}=\frac{y-0}{1-0}\Leftrightarrow x-5y+2=0$

Висота ВН перпендикулярна до сторони АС, а тому має вектор нормалі $\bar{AC}(-3;2)$ і проходить через точку В. Тому її рівняння матиме вигляд:

-3 (х – 5) +2 (у – 4) = 0 ⇔ 3х -2у + 4 = 0.

Довжину висоти ВН будемо шукати як відстань від точки В до прямої АС:

$BH = \rho (B,AC)=\frac{2\cdot 5+3\cdot 4+4}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}=\frac{26}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}$ .

Для визначення рівняння прямо АВ скористаємося властивістю бісектриси: $\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}$ .

$AB =\sqrt{(5-1)^{2}+(4+2)^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13},$

$AC = \sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}=\sqrt{13},$ тому $\frac{BP}{PC}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=2.$

Оскільки точка Р (х₂ ; у₂ ) ділить відрізок ВС у відношенні λ = 2, то за формулами координат точки, що ділить відрізок у заданому співвідношенні, маємо:

$x_{2}=\frac{5+2\cdot (-2)}{1+2}=\frac{1}{3},\; y_{2}=\frac{4+2\cdot 0}{1+2}=\frac{4}{3}\Rightarrow P(\frac{1}{3;\frac{4}{3}})$ .

Отже, рівнянн бісектриси має вигляд:

$\frac{x-1}{\frac{1}{3}-1}=\frac{y+2}{\frac{4}{3}+2}\Leftrightarrow \frac{10}{3}(x-1)=-\frac{2}{3}(y+2)\Leftrightarrow 5x+y-3=0.$ ♦

Приклад

Трикутник АВС заданий координатами вершин А (3; 0) , В (4; -1), С (7; 12). Записати рівняння сторін АВ і ВС. Знайти кут при вершині B.

♦ Рівняння сторін АВ і ВС будемо записувати як рівняння, що проходять через дві задані точки А і В та В і С відповідно:

$\frac{x-3}{4-3}=\frac{y-0}{-1-0}\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}\Rightarrow -x+3=y\Rightarrow y=-1\cdot x+3\Rightarrow$

$k_{1}=-1$

$\frac{x-4}{7-4}=\frac{y+1}{12+1} \Rightarrow \frac{x-4}{3}= \frac{y+1}{13} \Rightarrow 13x-52=3y+3 \Rightarrow$

$3y=13x -55 \Rightarrow y = \frac{13}{3}x- \frac{55}{3}\Rightarrow$ $k_{2}= \frac{13}{3}.$

Для обчислення кута В скористаємось формулою:

$tg B = \frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}= \frac{-1-\frac{13}{3}}{1+(-1)\frac{13}{3}}=-\frac{\frac{16}{3}}{\frac{10}{3}}=-1.6$

Отже, маємо:

∠В = arctg (-1.6) = 58^o.♦

Приклад

Скласти рівняння прямої різного виду, якщо відомо, що пряма проходить через точку М (2;3) паралельно прямій 5х – 2у +7 = 0.

♦ Оскільки шукана пряма проходить паралельно заданій прямій 5х – 2у +7 = 0, то їх кутові коефіцієнти будуть однаковими. Тому запишемо рівняння заданої прямої у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом:

$\Leftrightarrow y=\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}$ . Значить: $k=k_{1}=\frac{5}{2}$

Тепер можемо записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через задану точку М (3;2) :

$y - 3 =\frac{5}{2}(x-2)$

За заданою прямою 5х – 2у +7 = 0 записуємо вектор нормалі: $\bar{n}=(5;-2)$

Тепер можемо записати рівняння прямої, яка має заданий вектор нормалі і проходить через дану точку М (3;2): 5( х – 2) – 2 (у – 3) = 0.

Розривши дужки та звівши подібні доданки в останньому рівнянні, отримуємо загальне рівняння прямої:

5 х – 2 у – 4 = 0. А з цього рівняння, шляхом ділення обох частин на 4, отримуємо рівняння прямої у відрізках на осях:

$\frac{x}{\frac{4}{5}}+\frac{y}{-2}=1$ , де a = 4/5, b = -2 – відрізки, що відтинає пряма на осях ОХ і ОY відповідно.

Запишемо тепер нормальне рівняння шуканої прямої:

$\frac{5}{\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}}}x - \frac{2}{\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}}}y -\frac{4}{\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}}}x =0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{29}}x-\frac{2}{\sqrt{29}}y-\frac{4}{\sqrt{29}}=0.$ ♦