Вектори

ПРИКЛАД

Знайдіть координати вектора

$\vec{AB}$ , якщо А(-5;6), В(2;-3)

♦ Для того, щоб знайти координати вектора, потрібно від координат його кінці відняти координати його початку, тобто: $\vec{AB}=(2-(-5);-3-6)=(7;-9)$ .♦

ПРИКЛАД

Знайдіть координати векторів

$\vec{c}=2\vec{a}+3\vec{b}$ ,

$\vec{d}=-5\vec{a}$ ,

$\vec{e}=9\vec{b}$ ,

$\vec{f}=4\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{a}$ ,

якщо $\vec{a}=(5;-4)$ і $\vec{b}=(0;6)$ .

♦ $\vec{c}=2\vec{a}+3\vec{b}=2(5;-4)+3(0;6)=$ ,

$=(10;-8)+(0;18)=(10;10)$ ,

$\vec{d}=-5\vec{a}=-5(5;-4)=(-25;20)$ ,

$\vec{e}=9\vec{b}=9(0;6)=(0;54)$ ,

$\vec{f}=4\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{a}=4(0;6)-\frac{1}{3}(5;-4)=$ ,

$= (0;24)-(\frac{5}{3};-\frac{4}{3})=(-\frac{5}{3};24\frac{4}{3})=$ ,

$= (-1\frac{2}{3};25\frac{1}{3})$ .♦

ПРИКЛАД

Знайти модуль вектора

$\vec{MN}$ , якщо M(2;4), N(-3;-6).

♦ Модуль вектора обчислюється за формулою

$\left| \vec{MN}\right|=\sqrt{\left(x_{N}-x_{M} \right)^{2}+\left(y_{N}-y_{M} \right)^{2}}$ , тому

$\left| \vec{MN}\right|=\sqrt{\left(-3-2\right)^{2}+\left(-6-4 \right)^{2}}=$ , $=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$ .♦

ПРИКЛАД

Знайти скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами

$\vec{a}=(-3;1), \vec{b}=(5;-4)$ .

♦ Для обчислення скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами, використаємо формулу:

$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}$ .

Підставивши задані координати векторів, отримаємо

$\vec{a}\cdot \vec{b}=-3\cdot 5+(-1)\cdot 4=-15-4=-19$ ♦

ПРИКЛАД

Знайдіть вектор, що перпендикулярний заданому вектору

$\vec{a}(2;-5)$ .

♦ Вектори є перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. Тому $\vec{b}=(5;2)$ є перпендикулярним до заданого, оскільки: $\vec{a}\cdot \vec{b}=(2;-5)\cdot (5;2)=10-10=0$ .♦

ПРИКЛАД

Знайти кут між векторами

$\vec{a}$ і $\vec{b}$ , якщо $\left|\vec{a} \right|=\left|\vec{b} \right|=1$ , $(\vec{a}+2\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=-\frac{1}{2}$ .

♦ Кут між векторами обчислюється за формулою $cos\alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|}$ . Оскільки модулі векторів задані, то залишилось знайти скалярний добуток векторів. Визначимо його з другої умови

$\vec{a}\cdot \vec{a}+2\vec{a}\vec{b}-\vec{a}\vec{b}-2\vec{b}\vec{b}=-\frac{1}{2}$ . Оскільки скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює 1, то

$1+\vec{a}\vec{b}-2=-\frac{1}{2}$ ,

$\vec{a}\vec{b}-1=-\frac{1}{2}$ ,

$\vec{a}\vec{b}=-\frac{1}{2}+1$ ,

$\vec{a}\vec{b}=\frac{1}{2}$ .

Тому $cos\alpha =\frac{\frac{1}{2}}{1\cdot 1 }=\frac{1}{2}$ , а значить $\alpha =arccos\frac{1}{2}=60^{0}$ .♦

ПРИКЛАД

Знайти

$|\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|$ , якщо $\vec{a}\perp \vec{b}$ та $|\vec{a}|=1,\; |\vec{b}|=2$ .

♦ Нехай $\vec{a}(a_{x};a_{y};a_{z})$ , $\vec{b}(b_{x};b_{y};b_{z})$ .

Тоді: $2\vec{a}(2a_{x};2a_{y};2a_{z})$ , $3\vec{a}(3a_{x};3a_{y};3a_{z})$ , $2\vec{b}(2b_{x};2b_{y};2b_{z})$ ,

$2\vec{a}-\vec{b}=(2a_{x}-b_{x};2a_{y}-b_{y};2a_{z}-b_{z})$ $3\vec{a}+2\vec{b}=(3a_{x}+2b_{x};3a_{y}+2b_{y};3a_{z}+2b_{z})$

$|\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|=|\left(2a_{x}-b_{x} \right)\left(3a_{x}+2b_{x} \right)+$ $+\left(2a_{y}-b_{y} \right)\left(3a_{y}+2b_{y} \right)+\left(2a_{z}-b_{z} \right)\left(3a_{z}+2b_{z} \right)|=$ $=|6a_{x}^{2}-3a_{x}b_{x}+4a_{x}b_{x}-2b_{x}^{2}+6a_{y}^{2}-3a_{y}b_{y}+4a_{y}b_{y}-$ $-2b_{y}^{2}+6a_{z}^{2}-3a_{z}b_{z}+4a_{z}b_{z}-2b_{z}^{2}|=$ $=|6\left( a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}\right)+\left(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} \right)-2\left(b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2} \right)|$ (*)

$|\vec{a}|=\sqrt{ a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}\Rightarrow a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}=|\vec{a}|^{2};$ $|\vec{b}|=\sqrt{ b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}\Rightarrow b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}=|\vec{b}|^{2};$ $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z};$ $\vec{a}\perp \vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0\Rightarrow a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0;$

Підставимо отримані значення в рівність (*) і отримаємо: $|\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|=|6\cdot 1^{2}+0-2\cdot 2^{2}|=$ $=|6+0-8|=|-2|=2$ ♦

ПРИКЛАД

У трикутнику АВС задано координати вершини А (-1; -3) та векторів

$\vec{AB}(-3;2)$ і $\vec{AC}(-1;1)$ . Знайти:

а) координати вершин В і С;

б) кут при вершині А;

в) рівняння висоти, проведеної з вершини В;

г) рівняння медіани, проведеної з вершини В;

Зробити рисунок.

♦ а) $x_{\vec{AB}}=x_{B}-x_{A},\; y_{\vec{AB}}=y_{B}-y_{A},\;$

$x_{B}=x_{\vec{AB}}+x_{A},\;y_{B}=y_{\vec{AB}}+y_{A},\;$

$x_{B}=-3-1=-4,\; y_{B}=2-3=-1\Rightarrow B(-4;-1)$

$x_{\vec{AC}}=x_{C}-x_{A},\; y_{\vec{AC}}=y_{C}-y_{A},\;$

$x_{C}=x_{\vec{AC}}+x_{A},\;y_{C}=y_{\vec{AC}}+y_{A},\;$

$x_{C}=-1-1=-2,\; y_{C}=1-3=-2\Rightarrow C(-2;-2)$ .

б) Кут при вершині А – це кут між векторами $\vec{AB}$ та $\vec{AC}$ .

$cosA=\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{\left| \vec{AB}\right|\cdot \left|\vec{AC} \right|}=\frac{-3\cdot (-1)+2\cdot 1}{\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}\cdot \sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}}=$

$=\frac{3+2}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\approx \frac{5}{5,09}\approx 1\Rightarrow < A\approx 1^{0}$ .

в) Рівняння сторони АС – рівняння прямої, що проходить через точки А та С.

$\frac{x-x_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{C}-y_{A}}\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{x+1}{-2+1}=\frac{y+3}{-2+3}\Rightarrow$

$\Rightarrow x+1=-y-3,$

$x+y+4=0.$ .

Отже, АС: х + у + 4 = 0.

Вектор нормалі цієї прямої $\vec{n}(1;1)$ можна взяти за напрямний вектор $\vec{u}$ висоти, проведеної з вершини В (-4;-1):

$\frac{x+4}{1}=\frac{y+1}{1},$

$x+4=y+1,$

$h:x-y+3=0.$ .

г) Знайдемо координати точки М – середини сторони АС.

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-1-2}{2}=-1,5;$

$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{-3-2}{2}=-2,5;$ .

Тобто М(-1,5; -2,5).

Запишемо рівняння медіани – рівняння прямої, що проходить через т. М та т. В.

$\frac{x-x_{B}}{x_{M}-x_{B}}=\frac{y-y_{B}}{y_{M}-y_{B}};$ ;

$\frac{x+4}{-1,5+4}=\frac{y+1}{-2,5+1};$ ;

$-1,5x-6=2,5y+2,5;$ ;

$-1,5x+2,5y-8,5=0,\; /:\left(-\frac{1}{2} \right)$ ;

$3x+5y+17=0.$ .

Отже, ВМ: 3х + 5у +17=0.

Зробимо малюнок.♦

ПРИКЛАД

Знайти координати вершин трикутника В і С, якщо задано вершину А (-1; -3) та координати сторін

$\vec{AB}(-3;2), \vec{AC}(-1;1)$ .

♦ Використаємо формули координат вектора: $x_{\vec{AB}}=x_{B}-x_{A}$ , $y_{\vec{AB}}=y_{B}-y_{A}$ ; $x_{\vec{AC}}=x_{C}-x_{A}$ , $y_{\vec{AC}}=y_{C}-y_{A}$ . Підставивши значення, які задані в умові, виразимо координати шуканих точок: $x_{B}=x_{\vec{AB}}+x_{A}$ , $y_{B}=y_{\vec{AB}}+y_{A}$ ; $x_{B}=-3-1=-4$ , $y_{B}=2-3=-1$ ⇒ В (-4; -1); $x_{C}=x_{\vec{AC}}+x_{A}$ , $y_{C}=y_{\vec{AC}}+y_{A}$ ; $x_{C}=-1-1=-2$ , $y_{C}=1-3=-2$ ⇒ С (-2; -2). В і С – шукані точки.