Криволінійні інтеграли

Приклад

Обчислити криволінійні інтеграли першого роду:

а) $\text{[math]}$ , де АВ – дуга параболи y = x² від А (0; 0) до В (1; 1);

б) $\text{[math]}$ , де АВ – дуга кола х²+ у² = 1, розміщена у першій чверті.

♦ а) Знаходимо похідну y’ = 2x і за формулою $\int _{AB}f(x;y)dl = \int_{\alpha }^{\beta }{f(x(t),y(t))}\sqrt{x'^{2}(t)+y'^{2}(t)}dt$ дістаємо

$\int _{AB}xdl=\int_{0}^{1}{x\sqrt{1+4x^{2}}dx}=\frac{1}{8}\int_{0}^{1}{(1+4x^{2})^{\frac{1}{2}}d(1+4x^{2})}=$

$=\frac{1}{12}\sqrt{(1+4x^{2})^{3}}|_{0}^{1}=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$ .

б) Використаємо параметричне задання кола x = cos t, y = sin t. З умови задачі випливає, що 0 ≤ t ≤ π/2. Тоді за формулою $\int _{AB}f(x;y)dl = \int_{a }^{b}{f(x,y(x))}\sqrt{1+y'^{2}(x)}dx$ маємо

$\int _{AB}x^{2}ydl=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{cos^{2}tsint\sqrt{sin^{2}t+cos^{2}t}dt}=$

$=-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{cos^{2}td(cost)}=-\frac{cos^{3}t}{3}|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{3}$ .♦

Приклад

Обчислити масу гвинтової лінії x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 4t, 0 ≤ t ≤ 2π, якщо густина в кожній її точці γ = 2z.

♦ Масу заданої просторової кривої визначимо за формулою

$m = \int_{\alpha }^{\beta }{\gamma (x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'^{2}(t)+y'^{2}(t)+z'^{2}(t)}dt}$ .

Оскільки γ = 2z = 2·4t = 8t i x'(t) = -3 sin t, y'(t) = 3 cos t, z'(t) = 4, то

$m=\int_{0}^{2\pi }{8t\sqrt{9sin^{2}t+9cos^{2}t+16}dt}=20t^{2}|_{0}^{2\pi }=80\pi ^{2}$ .♦

Приклад

Обчислити криволінійні інтеграли другого роду:

а) $\int _{AB}x^{2}dx+xydy$ , АВ – відрізок, що з’єднує точки А (1;1) і В (2;3);

б) $\int _{L}(x-y)dx+(x+y)dy$ , L – ламана ОАВ, де О (0;0), А (1;0), В (3;2);

в) $\int _{AB}xdx+y^{2}dy$ , АВ – дуга параболи у = х² від точки (0;0) до точки (2;4);

г) $\int _{AB}\frac{dx}{y}-\frac{dy}{x}$ , якщо АВ – перша чверть кола х² + у² = 4, а обхід здійснюється за рухом годинникової стрілки.

♦ а) Запишемо рівняння прямої, що проходить через дві точки:

$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$ . У цьому випадку дістанемо у = 2х – 1. Тоді за формулою

$\int _{AB}Pdx+Qdy=\int_{a}^{b}{(P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'(x)dx}$ ,

де у(х) = 2х – 1, у'(х) = 2, маємо

$\int _{AB}x^{2}dx+xydy=\int_{1}^{2}{(x^{2}+x(2x-1)\cdot 2)dx}=$

$=\int_{1}^{2}{(5x^{2}-2x)dx}=\frac{26}{3}$ .

б) Рівняння відрізка ОА має вигляд у = 0, 0 ≤ х ≤ 1, і тут dy = 0. Для відрізка АВ маємо у = х – 1, 1 ≤ х ≤ 3, dy = dx. Користуючись властивістю інтеграла за формулою

$\int _{AB}Pdx+Qdy=\int_{a}^{b}{(P(x,y(X))+Q(x,y(x))y'(x)dx}$ ,

дістаємо $\int _{L}=(x-y)dx+(x+y)dy=$

$=\int _{OA}(x-y)dx+(x+y)dy+\int _{AB}(x-y)dx+(x+y)dy=$

$=\int_{0}^{1}{xdx}+\int_{1}^{3}{(x-x+1+x+x-1)dx}=\frac{x^{2}}{2}|_{0}^{1}+x^{2}|_{1}^{3}=\frac{17}{2}$ .

в) Користуючись формулою

$\int _{AB}Pdx+Qdy+Rdz=\int _{AB}Pdx+\int _{AB}Qdy+\int _{AB}Rdz$ ,

маємо

$\int _{AB}xdx+y^{2}dy=\int _{AB}xdx+\int _{AB}y^{2}dy=\int_{0}^{2}{xdx}+\int_{0}^{4}{y^{2}dy}=\frac{70}{3}$

г) Запишемо рівняння кола у параметричній формі: x = 2cost, y = 2 sint, 0 ≤ t ≤ π/2. Тоді x'(t) = -2sint, y'(t) = 2cost і за формулою

$\int _{AB}Pdx+Qdy=\int_{\alpha }^{\beta }{(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))dt}$

$\int _{AB}\frac{dx}{y}-\frac{dy}{x}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{(-\frac{2sint}{2sint}-\frac{2cost}{2cost})dt}=$

$=-2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{dt}=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{dt}=\pi$ .♦

Приклад

Обчислити інтеграл $I = \int _{L}(x^2+y^2)dx+xdy$ , застосовуючи формулу Гріна, якщо L – трикутник із вершинами О (0;0), А (1;0), В (0;1).

♦ Маємо Р = х² + у², Q = x, $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-2y$ . За формулою $\int _{L_{D}}Pdx+Qdy=\int _{D}\int (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$ дістаємо

$I = \int _{L}(x^2+y^2)dx+xdy=\int _{D}\int (1-2y)dxdy$ ,

де область D – трикутник ОАВ. Оскільки рівняння сторони АВ має вигляд х + у = 1, то

$I = \int _{D}\int (1-2y)dxdy=\int_{0}^{1}{dx}\int_{0}^{1-x}{(1-2y)dy}=\frac{1}{6}$ .♦

Приклад

Обчислити роботу, виконану силою $\vec{F}=y^{2}\vec{i}+x\vec{j}$ уздовж прямої, що з’єднує точки А (1;2) і В (2;4).

♦ Потрібно обчислити криволінійний інтеграл другого роду від функцій Р = у² і Q = х уздовж відрізка АВ. Скористаємось формулою $\int _{AB}Pdx+Qdy+Rdz=\int _{AB}Pdx+\int _{AB}Qdy+\int _{AB}Rdz$ і тим фактом, що на АВ маємо у = 2х. Тоді

$W=\int _{AB}y^{2}dx+xdy=\int_{1}^{2}{4x^{2}dx}+\int_{2}^{4}{\frac{y}{2}dy}=\frac{37}{3}=12\frac{1}{3}$ .♦

Приклад

Обчислити циркуляції вектора $\vec{f}=y\vec{i}+x\vec{j}+\vec{k}$ вздовж кола х² + у² = 1, z = 0 в додатному напрямі.

♦ Параметричне рівняння заданого кола L має вигляд x = cos t, y = sin t, z = 0, 0 ≤ t ≤ 2π. Оскільки при P = -y = – sin t, Q = x = cos t, R = 1, dx = – sin t dt, dy = cos t dt, dz = 0, то за означенням циркуляції дістаємо Ц = $\int _{L}(-y)dx+xdy+dz=$

$=\int_{0}^{2\pi }{((-sint)(-sint)+costcost)dt}=$

$=\int_{0}^{2\pi }{(sin^{2}t+cos^{2}t)dt}=\int_{0}^{2\pi }{dt}=2\pi$ .♦