Числові ряди

Приклад

За заданим загальним членом ряду записати декілька перших членів:

а) $a_{n}=\frac{n}{n+1}$ ;

б) $a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$ ;

в) $a_{n}=\frac{1}{n!}$ .

♦а) $n=1 \; \; a_{1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ ,

$n=2\; \; a_{2}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$ ,

$n=3 \; \; a_{3}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$ .

б) $n=1 \; \; a_{1}=\frac{(-1)^{1}}{1^{2}}=-1$ ,

$n=2\; \; a_{2}=\frac{(-1)^{2}}{2^{2}}=\frac{1}{4}$ ,

$n=3 \; \; a_{3}=\frac{(-1)^{3}}{3^{2}}=-\frac{1}{9}$ .

в) $n=1 \; \; a_{1}=\frac{1}{1!}=1$ ,

$n=2\; \; a_{2}=\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}$ ,

$n=3 \; \; a_{3}=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}$ .♦

Приклад

Записати загальний член заданого ряду:

а) $\frac{1}{10}+\frac{2}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{4}{10000}+....$ ;

б) $\frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{8}+...$ ;

в) $sin\alpha +\frac{sin2\alpha}{3}+\frac{sin3\alpha}{5}+\frac{sin4\alpha}{7}+...$ ;

г) $\left(1 +\frac{i}{2}\right)+\left(\frac{1}{3} +\frac{i}{4}\right)+\left(\frac{1}{5} +\frac{i}{6}\right)+...$ .

♦ а) $\frac{1}{10}+\frac{2}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{4}{10000}+....=$ $=\frac{1}{10}+\frac{2}{10^{2}}+\frac{3}{10^{3}}+\frac{4}{10^{4}}+....$

Отже, $a_{n}=\frac{n}{10^{n}}$ .

б) $\frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{8}+...=$

$\frac{2-1}{2\cdot 1}-\frac{4-1}{2\cdot 2}+\frac{6-1}{2\cdot 3}-\frac{8-1}{2\cdot 4}+...=$

$= \frac{2\cdot 1-1}{2\cdot 1}-\frac{2\cdot 2-1}{2\cdot 2}+\frac{2\cdot 3-1}{2\cdot 3}-\frac{2\cdot 4-1}{2\cdot 4}+...$

Отже, $a_{n}=\left(-1 \right)^{n+1}\frac{2n-1}{2n}$ .

в) $sin\alpha +\frac{sin2\alpha}{3}+\frac{sin3\alpha}{5}+\frac{sin4\alpha}{7}+...=$

$=\frac{sin1\alpha}{2\cdot 1-1} +\frac{sin2\alpha}{2\cdot 2-1}+\frac{sin3\alpha}{2\cdot 3-1}+\frac{sin4\alpha}{2\cdot 4-1}+...$

Отже, $a_{n}=\frac{sin (n\alpha) }{2n-1}$ .

г) $\left(1 +\frac{i}{2}\right)+\left(\frac{1}{3} +\frac{i}{4}\right)+\left(\frac{1}{5} +\frac{i}{6}\right)+...=$

$=\left(\frac{1}{2\cdot 1-1} +\frac{i}{2\cdot 1}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot 2-1} +\frac{i}{2\cdot 2}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot 3-1} +\frac{i}{2\cdot 3}\right)+...$

Отже, $a_{n}=\frac{1}{2n-1}+\frac{i}{2n}$ .♦

Приклад

Дослідити ряди на збіжність:

а) $\sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{\sqrt{n}}}$ ;

б) $\sum_{n=1}^{\propto }{\frac{2^{n}}{n^{3}}}$ ;

в) $\sum_{n=1}^{\propto }{\left(sin\frac{3}{n} \right)^{n}}$ .

♦ а) Скористаємося першою ознакою порівняння рядів. Оскільки $\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \frac{1}{n}$ для всіх n ∈ N, а гармонічний ряд $\sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{n}}$ розбігається, то і заданий ряд є розбіжним.

б) Для дослідження даного ряду на збіжність використаємо ознаку Д’Аламбера. Оскільки:

$a_{n}=\frac{2^{n}}{n^{3}},\; a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)^{3}},\;$ , то $D=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{2^{n+1}\cdot n^{3}}{2^{n}(n+1)^{3}}=2\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{ n^{3}}{(n+1)^{3}}=2$ . Отже, D>1, а значить ряд розбіжний.

в) Даний ряд дослідимо на збіжність, використовуючи ознаку Коші.

$K=\lim_{n\rightarrow \propto }\sqrt[n]{\left(sin\frac{3}{n} \right)^{n}}=\lim_{n\rightarrow \propto }sin\frac{3}{n}=0<1$ . Отже, ряд розбіжний.♦

Приклад

Дослідити ряд на збіжність $\sum_{n=1}^{\bowtie }{\frac{2^{n}\cdot n^{2}}{n+1}}$ .

♦ Дослідимо заданий ряд на збіжність за ознакою Д’аламбера:

$u_{n}=\frac{2^{n}\cdot n^{2}}{n+1},$ $u_{n+1}=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)^{2}}{n+1+1}=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)^{2}}{n+2}$

$D=\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\rightarrow \bowtie }=\frac{2^{n+1}(n+1)^{2}}{n+2}\cdot \frac{n+1}{2^{n}\cdot n^{2}}=$

$=\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{2\cdot 2^{n}(n+1)^{2}\cdot (n+1)}{n^{2}(n+2)\cdot 2^{n}}=$

$=2\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{(n^{2}+2n+1)(n+1)}{n^{2}(n+2)}=$

$=2\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{n^{3}+2n^{2}+n+n^{2}+1}{n^{3}+2n^{2}}=$

$=2\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{n^{3}+3n^{2}+n+1}{n^{3}+2n^{2}}=2\cdot 1=2$

Оскільки D > 1, то заданий ряд є розбіжним.♦

Приклад

Дослідити ряд на збіжність $\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{3^{n}\sqrt{n}}{5^{n}}}$ .

♦ Дослідимо ряд за ознакою Д’Аламбера:

$a_{n}=\frac{3^{n}\sqrt{n}}{5^{n}},$

$a_{n+1}=\frac{3^{n+1}\sqrt{n+1}}{5^{n+1}}.$

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3^{n+1}\sqrt{n+1}}{5^{n+1}}\cdot \frac{5^{n}}{3^{n}\sqrt{n}}=$

$=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}\sqrt{n+1}}{3^{n}\cdot 5^{n}\cdot 5\sqrt{n}}=\frac{3}{5}\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{\frac{n+1}{n}}=$

$=\frac{3}{5}\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=\frac{3}{5}\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{1}=\frac{3}{5}<1$

Отже, ряд збіжний. ♦

Приклад

Дослідити на збіжність знакододатній числовий ряд, що заданий своїм загальним членом:

а) $u_{n}=\frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}}$ ;

б) $u_{n}=tg^{n}\frac{3\pi n-1}{9n+5}$ .

♦ а) Дослідимо ряд на збіжність за ознакою Д’Аламбера:

$u_{n}=\frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}};$

$u_{n+1}=\frac{(2(n+1)+1)!}{((n+1)!)^{2}}=\frac{(2n+2+1)!}{((n+1)!)^{2}}=\frac{(2n+3)!}{((n+1)!)^{2}};$

$D=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(2n+3)!}{((n+1)!)^{2}}:\frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}}=$

$=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(2n+3)!\cdot (n!)^{2}}{((n+1)!)^{2}\cdot (2n+1)!}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (2n+1)(2n+2)(2n+3)}{1\cdot 2\cdot ...\cdot (2n+1)}\cdot \left ( \frac{n!}{(n+1)!} \right )^{2}=$

$=\lim_{n\rightarrow \infty }(2n+2)(2n+3)\cdot \left ( \frac{1\cdot 2\cdot ...\cdot n}{1\cdot 2\cdot ...\cdot n\cdot (n+1)} \right )^{2}=\lim_{n\rightarrow \infty }(2n+2)(2n+3)\cdot \frac{1}{(n+1)^{2}}=$

$=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^{2}+10n+6}{n^{2}+2n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{2}(4+\frac{10}{n}+\frac{6}{n^{2}})}{n^{2}(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}})}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4}{1}=4>1.$

Отже, заданий ряд є розбіжним.

б) Дослідимо заданий ряд на збіжність за ознакою Коші:

$K=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}};$

$K=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{tg^{n}\frac{3\pi n-1}{9n+5}}=\lim_{n\rightarrow \infty }tg\frac{3\pi n-1}{9n+5}=$

$=\lim_{n\rightarrow \infty }tg\frac{n(3\pi -\frac{1}{n})}{n(9+\frac{5}{n})}=\lim_{n\rightarrow \infty }tg\frac{3\pi }{9}=\lim_{n\rightarrow \infty }tg\frac{\pi }{3}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{3}=\sqrt{3}$ ♦

Приклад

Перевірити ряди на збіжність (абсолютну та умовну) та розбіжність:

а) $\sum_{n=1}^{\propto }{\left(-1 \right)^{n}tg\frac{1}{\sqrt{n}}}$ ;

б) $1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}-\frac{1}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+...$ ;

в) $3-\frac{5}{2}+\frac{7}{3}-\frac{9}{4}+...$ .

♦ а) Ряд розбігається за ознакою Лейбніца, оскільки $tg\frac{1}{\sqrt{n+1}}<tg\frac{1}{\sqrt{n}}\;$ для будь-яких n ∈ N і $\lim_{n\rightarrow \propto }tg\frac{1}{\sqrt{n}}=0$ . Запишемо тепер ряд з абсолютних величин його членів. Дістанемо розбіжний ряд $\sum_{n=1}^{\propto }{tg\frac{1}{\sqrt{n}}}$ , тому що його можна порівняти з узагальненим гармонічним рядом $\sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{\sqrt{n}}}$ , який розбігається (тут $\alpha =\frac{1}{2}<1$ ). Тому заданий ряд є умовно збіжним.

б) Члени заданого ряду мають довільні знаки. Складемо ряд з абсолютних величин членів цього ряду. Дістанемо геометричний ряд $\sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{3^{n-1}}}$ , в якого знаменник $q=\frac{1}{3}<1$ . Отже, заданий ряд збігається, причому абсолютно.

в) Заданий ряд вважаємо знакопочережним, де $a_{n}=\frac{2n+1}{n}$ . Оскільки $\lim_{n\rightarrow \propto }a_{n}=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{2n+1}{n}=2$ , то не виконується необхідна умова збіжності ряду. Тому він розбігається.♦

Приклад

Скільки членів ряду $\sum_{n=1}^{\propto }{\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}}$ потрібно взяти, щоб обчислити його суму з точністю до 0,01?

♦ Заданий ряд є знакопочережним і є збіжним за ознакою Лейбніца. Його n-й залишок оцінюється за формулою $\left|r_{n} \right|<a_{n+1}$ . Для визначення кількості членів ряду, які потрібно взяти для забезпечення заданої точності обчислення суми, потрібно розв’язати нерівність |r_n|<0.01, тобто $\frac{1}{2^{n+1}}<\frac{1}{100}$ . Звідси дістаємо $2^{n+1}>100$ , або $n\geq 6$ . Отже, треба взяти не менше шести перших членів ряду, щоб при заміні суми ряду сумою перших n членів похибка була меншою 0.01.♦

Приклад

Обчислити $arcsin\frac{1}{3}$ з точністю до 10^-3.

♦ Запишемо розвинення в ряд для функції arcsin x:

$arcsinx=x+\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}x^{2n+1},\; x\in (-1;1)$

$arcsin\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}\left(\frac{1}{3} \right)^{2n+1}=$

$=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\left(\frac{1}{3} \right)^{5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\left(\frac{1}{3} \right)^{7}+...\approx$

$\approx 0,3333+0,0185+0,0015+0,0001+...$

Бачимо, що починаючи з четвертого члена, в розряді тисячних маємо нуль. Тому обчислимо суму перших трьох членів:

$arcsin\frac{1}{3}\approx 0,3333+0,0185+0,0015\approx 0,353$ . ♦