Числові ряди

Приклад

За заданим загальним членом ряду записати декілька перших членів:

а) a_{n}=\frac{n}{n+1};

б) a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}};

в)  a_{n}=\frac{1}{n!} .

♦а)  n=1 \; \; a_{1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} ,

n=2\; \; a_{2}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3} ,

n=3 \; \; a_{3}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4} .

б) n=1 \; \; a_{1}=\frac{(-1)^{1}}{1^{2}}=-1 ,

n=2\; \; a_{2}=\frac{(-1)^{2}}{2^{2}}=\frac{1}{4} ,

 n=3 \; \; a_{3}=\frac{(-1)^{3}}{3^{2}}=-\frac{1}{9}.

в)  n=1 \; \; a_{1}=\frac{1}{1!}=1,

n=2\; \; a_{2}=\frac{1}{2!}=\frac{1}{2} ,

 n=3 \; \; a_{3}=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6} .♦

Приклад

Записати загальний член заданого ряду:

а)   \frac{1}{10}+\frac{2}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{4}{10000}+....;

б)  \frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{8}+... ;

в)  sin\alpha +\frac{sin2\alpha}{3}+\frac{sin3\alpha}{5}+\frac{sin4\alpha}{7}+... ;

г)  \left(1 +\frac{i}{2}\right)+\left(\frac{1}{3} +\frac{i}{4}\right)+\left(\frac{1}{5} +\frac{i}{6}\right)+... .

♦ а)  \frac{1}{10}+\frac{2}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{4}{10000}+....=  =\frac{1}{10}+\frac{2}{10^{2}}+\frac{3}{10^{3}}+\frac{4}{10^{4}}+....

Отже, a_{n}=\frac{n}{10^{n}} .

б) \frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{8}+...=

\frac{2-1}{2\cdot 1}-\frac{4-1}{2\cdot 2}+\frac{6-1}{2\cdot 3}-\frac{8-1}{2\cdot 4}+...=

= \frac{2\cdot 1-1}{2\cdot 1}-\frac{2\cdot 2-1}{2\cdot 2}+\frac{2\cdot 3-1}{2\cdot 3}-\frac{2\cdot 4-1}{2\cdot 4}+...

Отже,   a_{n}=\left(-1 \right)^{n+1}\frac{2n-1}{2n}.

в) sin\alpha +\frac{sin2\alpha}{3}+\frac{sin3\alpha}{5}+\frac{sin4\alpha}{7}+...=

 =\frac{sin1\alpha}{2\cdot 1-1} +\frac{sin2\alpha}{2\cdot 2-1}+\frac{sin3\alpha}{2\cdot 3-1}+\frac{sin4\alpha}{2\cdot 4-1}+...

Отже,  a_{n}=\frac{sin (n\alpha) }{2n-1}.

г)  \left(1 +\frac{i}{2}\right)+\left(\frac{1}{3} +\frac{i}{4}\right)+\left(\frac{1}{5} +\frac{i}{6}\right)+...=

=\left(\frac{1}{2\cdot 1-1} +\frac{i}{2\cdot 1}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot 2-1} +\frac{i}{2\cdot 2}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot 3-1} +\frac{i}{2\cdot 3}\right)+...

Отже,   a_{n}=\frac{1}{2n-1}+\frac{i}{2n}.♦

Приклад

Дослідити ряди на збіжність:

а) \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{\sqrt{n}}} ;

б) \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{2^{n}}{n^{3}}} ;

в) \sum_{n=1}^{\propto }{\left(sin\frac{3}{n} \right)^{n}} .

а) Скористаємося першою ознакою порівняння рядів. Оскільки   \frac{1}{\sqrt{n}}\geq \frac{1}{n} для всіх n ∈ N, а гармонічний ряд   \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{n}} розбігається, то і заданий ряд є розбіжним.

б) Для дослідження даного ряду на збіжність використаємо ознаку Д’Аламбера. Оскільки: 

a_{n}=\frac{2^{n}}{n^{3}},\; a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)^{3}},\;  , то D=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{2^{n+1}\cdot n^{3}}{2^{n}(n+1)^{3}}=2\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{ n^{3}}{(n+1)^{3}}=2 . Отже, D>1, а значить ряд розбіжний.

в) Даний ряд дослідимо на збіжність, використовуючи ознаку Коші. 

 K=\lim_{n\rightarrow \propto }\sqrt[n]{\left(sin\frac{3}{n} \right)^{n}}=\lim_{n\rightarrow \propto }sin\frac{3}{n}=0<1. Отже, ряд розбіжний.♦

Приклад

Дослідити ряд на збіжність  \sum_{n=1}^{\bowtie }{\frac{2^{n}\cdot n^{2}}{n+1}} .

♦ Дослідимо заданий ряд на збіжність за ознакою Д’аламбера:

 u_{n}=\frac{2^{n}\cdot n^{2}}{n+1},   u_{n+1}=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)^{2}}{n+1+1}=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)^{2}}{n+2}

 D=\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\rightarrow \bowtie }=\frac{2^{n+1}(n+1)^{2}}{n+2}\cdot \frac{n+1}{2^{n}\cdot n^{2}}=

 =\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{2\cdot 2^{n}(n+1)^{2}\cdot (n+1)}{n^{2}(n+2)\cdot 2^{n}}=

 =2\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{(n^{2}+2n+1)(n+1)}{n^{2}(n+2)}=

 =2\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{n^{3}+2n^{2}+n+n^{2}+1}{n^{3}+2n^{2}}=

 =2\lim_{n\rightarrow \bowtie }\frac{n^{3}+3n^{2}+n+1}{n^{3}+2n^{2}}=2\cdot 1=2

Оскільки D > 1, то заданий ряд є розбіжним.♦

Приклад

Дослідити ряд на збіжність  \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{3^{n}\sqrt{n}}{5^{n}}} .

♦ Дослідимо ряд за ознакою Д’Аламбера: 

 a_{n}=\frac{3^{n}\sqrt{n}}{5^{n}},

 a_{n+1}=\frac{3^{n+1}\sqrt{n+1}}{5^{n+1}}.

 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3^{n+1}\sqrt{n+1}}{5^{n+1}}\cdot \frac{5^{n}}{3^{n}\sqrt{n}}=

 =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}\sqrt{n+1}}{3^{n}\cdot 5^{n}\cdot 5\sqrt{n}}=\frac{3}{5}\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{\frac{n+1}{n}}=

 =\frac{3}{5}\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=\frac{3}{5}\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{1}=\frac{3}{5}<1

Отже, ряд збіжний. ♦

Приклад

Дослідити на збіжність знакододатній числовий ряд, що заданий своїм загальним членом:

а)  u_{n}=\frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}}

б) u_{n}=tg^{n}\frac{3\pi n-1}{9n+5}

а) Дослідимо ряд на збіжність за ознакою Д’Аламбера:

 u_{n}=\frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}};

u_{n+1}=\frac{(2(n+1)+1)!}{((n+1)!)^{2}}=\frac{(2n+2+1)!}{((n+1)!)^{2}}=\frac{(2n+3)!}{((n+1)!)^{2}};

D=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(2n+3)!}{((n+1)!)^{2}}:\frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}}=

 =\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(2n+3)!\cdot (n!)^{2}}{((n+1)!)^{2}\cdot (2n+1)!}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (2n+1)(2n+2)(2n+3)}{1\cdot 2\cdot ...\cdot (2n+1)}\cdot \left ( \frac{n!}{(n+1)!} \right )^{2}=

=\lim_{n\rightarrow \infty }(2n+2)(2n+3)\cdot \left ( \frac{1\cdot 2\cdot ...\cdot n}{1\cdot 2\cdot ...\cdot n\cdot (n+1)} \right )^{2}=\lim_{n\rightarrow \infty }(2n+2)(2n+3)\cdot \frac{1}{(n+1)^{2}}=

 =\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^{2}+10n+6}{n^{2}+2n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{2}(4+\frac{10}{n}+\frac{6}{n^{2}})}{n^{2}(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}})}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4}{1}=4>1.

Отже, заданий ряд є розбіжним.

б) Дослідимо заданий ряд на збіжність за ознакою Коші: 

 K=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}};

 K=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{tg^{n}\frac{3\pi n-1}{9n+5}}=\lim_{n\rightarrow \infty }tg\frac{3\pi n-1}{9n+5}=

 =\lim_{n\rightarrow \infty }tg\frac{n(3\pi -\frac{1}{n})}{n(9+\frac{5}{n})}=\lim_{n\rightarrow \infty }tg\frac{3\pi }{9}=\lim_{n\rightarrow \infty }tg\frac{\pi }{3}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{3}=\sqrt{3}

Приклад

Перевірити ряди на збіжність (абсолютну та умовну) та розбіжність:

а) \sum_{n=1}^{\propto }{\left(-1 \right)^{n}tg\frac{1}{\sqrt{n}}} ;

б)  1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}-\frac{1}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+...;

в) 3-\frac{5}{2}+\frac{7}{3}-\frac{9}{4}+... .

а) Ряд розбігається за ознакою Лейбніца, оскільки   tg\frac{1}{\sqrt{n+1}}<tg\frac{1}{\sqrt{n}}\;  для будь-яких n ∈ N і  \lim_{n\rightarrow \propto }tg\frac{1}{\sqrt{n}}=0 . Запишемо тепер ряд з абсолютних величин його членів. Дістанемо розбіжний ряд   \sum_{n=1}^{\propto }{tg\frac{1}{\sqrt{n}}}, тому що його можна порівняти з узагальненим гармонічним рядом  \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{\sqrt{n}}} , який розбігається (тут   \alpha =\frac{1}{2}<1). Тому заданий ряд є умовно збіжним. 

б) Члени заданого ряду мають довільні знаки. Складемо ряд з абсолютних величин членів цього ряду. Дістанемо геометричний ряд  \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{1}{3^{n-1}}} , в якого знаменник   q=\frac{1}{3}<1 . Отже, заданий ряд збігається, причому абсолютно.

в) Заданий ряд вважаємо знакопочережним, де   a_{n}=\frac{2n+1}{n}. Оскільки   \lim_{n\rightarrow \propto }a_{n}=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{2n+1}{n}=2, то не виконується необхідна умова збіжності ряду. Тому він розбігається.

Приклад

Скільки членів ряду \sum_{n=1}^{\propto }{\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}}  потрібно взяти, щоб обчислити його суму з точністю до 0,01?

Заданий ряд є знакопочережним і є збіжним за ознакою Лейбніца. Його n-й залишок оцінюється за формулою   \left|r_{n} \right|<a_{n+1}. Для визначення кількості  членів ряду, які потрібно взяти для забезпечення заданої точності обчислення суми, потрібно розв’язати нерівність |rn|<0.01, тобто  \frac{1}{2^{n+1}}<\frac{1}{100} . Звідси дістаємо  2^{n+1}>100 , або   n\geq 6 . Отже, треба взяти не менше шести перших членів ряду, щоб при заміні суми ряду сумою перших n членів похибка була меншою 0.01.♦

Приклад

Обчислити  arcsin\frac{1}{3}  з точністю до 10-3.

♦ Запишемо розвинення в ряд для функції arcsin x

 arcsinx=x+\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}x^{2n+1},\; x\in (-1;1)

 arcsin\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}\left(\frac{1}{3} \right)^{2n+1}=

 =\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\left(\frac{1}{3} \right)^{5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\left(\frac{1}{3} \right)^{7}+...\approx

 \approx 0,3333+0,0185+0,0015+0,0001+...

Бачимо, що починаючи з четвертого члена, в розряді тисячних маємо нуль. Тому обчислимо суму перших трьох членів:

 arcsin\frac{1}{3}\approx 0,3333+0,0185+0,0015\approx 0,353