Многокутники. Площа многокутника

Приклад

Знайдіть відношення сторони правильногошестикутника, вписаного в коло, до сторони квадрата, описаного навколо цього ж кола. 

♦ Многокутники. Площа многокутникаВиразимо сторони обох многокутників через радіус кола.

Для квадрата це буде r – радіус вписаного кола, а для шестикутника R – радіус описаного кола.

Тому:  r=\frac{a_{4}}{2},\; R=a_{6}.

 r=R\Rightarrow \frac{a_{4}}{2}=a_{6}\Rightarrow \frac{a_{4}}{a_{6}}=2 . ♦

Приклад

Скільки сторін має правильний многокутник, якщо сума його внутрішніх кутів дорівнює 2520о.

♦ Сума внутрішніх кутів правильного многокутника обчислюється за формулою: 

 S=180^{o}(n-2) .

Тому:  2520^{o}=180^{o}(n-2) ,

 n-2=2520^180 ,

 n-2=14 ,

 n=16  .

Отже, многокутник має 16 сторін.

Приклад

Вершини правильного шестикутника з’єднали відрізками, узявши через одну. Доведіть, що отриманий трикутник є правильним.

♦ Многокутники. Площа многокутникаРозглянемо трикутники 1, 2 та 3. Вони рівні за першою ознакою рівності трикутників (всі сторони правильного шестикутника рівні, а значить і сторони цих трикутників рівні; кути правильного шестикутника рівні, тому кути між сторонами трикутників  рівні). З рівності трикутників випливає рівність їх елементів, тому відрізки АВ, ВС і АС рівні, а значить трикутник АВС- правильний, що й треба було довести.♦

Приклад

У коло радіуса 2√3 см вписано правильний трикутник. Обчисліть:

а) сторону трикутника;

б) радіус кола вписаного в цей трикутник.

♦ Запишемо формули, що пов’язують радіуси вписаного та описаного кул з довжиною сторони правильного трикутника: 

 r=\frac{a\sqrt{3}}{6} ,

 R=\frac{a\sqrt{3}}{3} .

Для даної задачі R = 2√3 см. Тому: 

 2\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3},

 a=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6 см,

 r=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3} см. ♦

Приклад

Скільки сторін у правльного многокутника, якщо його внутрішній кут дорівнює 120о?

♦ Формула внутрішнього кута правильного многокутника 

 \alpha =\frac{180^{o^}(n-2)}{n} .

Тоді:  120^{o}=\frac{180^{o}(n-2)}{n},

 120n=180n-360 ,

  60n=360 ,

 n=6 .

Значить правильний многокутник має 6 сторін.♦

Приклад

Знайдіть довжину найменшої висоти трикутника зі сторонами а = 29 см, b = 25 см, c = 6 см. 

♦ Найменша висота трикутника – це висота, проведена до найдовшої сторони трикутника. Її можна визначити з формули:  S=\frac{1}{2}ah_{a}\Rightarrow h_{a}=\frac{2S}{a} .

Потрібно визначити площу трикутника. Це можна зробити за формулою Герона: 

 S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\; p=\frac{a+b+c}{2} .

 p=\frac{29+25+6}{2}=30 см,

 S=\sqrt{30(30-29)(30-25)(30-6)}=\sqrt{30\cdot 1\cdot 5\cdot 6}=30 см2.

Отже, 

 h_{a}=\frac{2\cdot 30}{29}=\frac{60}{29}=2\frac{2}{29} см.♦

Приклад

Знайти площу трикутника АВС за даними на малюнку: 

Многокутники. Площа многокутника

♦ Площу шуканого трикутника АВС можна обчислити як різницю площ трикутників BDC та BAD, тобто: SΔABC = SΔBDC – SΔBAD.

∠BAD = 180o – ∠BAC = 180o – 135o = 45o.

Розглянемо трикутник BAD: ∠В = 180о – 90о – 45о = 45о. Звідси, Δ BAD – рівнобедрений, а тому BD = 4 см.

За формулою площі прямокутного трикутника:

  S_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8

 S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}CD\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12 ,

SΔABC = 12 – 8 = 4 см2.♦

Приклад

Знайти площу трикутника, сторони якого дорівнюють 11 см, 25 см, 30 см.

♦ Оскільки задано всі сторони трикутника, то його площу можна обчислити за формулою Герона:  S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} , де  p=\frac{a+b+c}{2} .

Тому  p=\frac{11+25+30}{2}=33 , а значить  S=\sqrt{33(33-11)(33-25)(33-30)}=\sqrt{33\cdot 22\cdot 8\cdot 3}=132 см2.♦

Приклад

Знайдіть площу рівнобедреного трикутника з основою 16 см та медіаною 7 см, що проведена до основи.

♦ Оскільки трикутник є рівнобедреним, то медіана є висотою і бісектрисою. Тоді площу трикутника можна знайти за формулою  S=\frac{1}{2}ah_{a} , а значить  S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 7=56 см2.♦

Приклад

Знайдіть площу трикутника АВС, якщо АВ = 7 см, ВС = 6 см, ∠АВС = 150о.

♦ Оскільки задано дві сторони трикутника і кут між ними, то його площу можна обчислювати за формулою:  S=\frac{1}{2}absin\alpha  , тобто   S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 6\cdot sin150^{o}=21\cdot sin30^{o}=21\cdot \frac{1}{2}=10,5 см2.♦