Поверхневі інтеграли

Приклад

Обчислити інтеграл $I = \int _{S}\int (x-2z)dS$ по частині площини x + y + z = 1, розміщеної у першому октанті.

♦ Поверхню S задано рівнянням z = 1 – x – y, де функція z та її частинні похідні z’_x = – 1, z’_y = -1 є неперервними в обмеженій замкненій області D – проекції S на площину ХОY. Тому заданий інтеграл існує. Обчислимо його за формулою $\int _{S}\int f(x,y,z)dS=\int _{D}\int f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_{x}'^{2}+z_{y}'^{2}}dxdy$ :

$I=\int _{D}\int (x-2(1-x-y))\sqrt{1+(-1)^{2}+(-1)^{2}}dxdy=$

$=\sqrt{3}\int _{D}\int (-2+3x+2y)dxdy=$

$=\sqrt{3}\int_{0}^{1}{dx}\int_{0}^{1-x}{(-2+3x+2y)dy}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$ . ♦

Приклад

Обчислити координати центра маси півсфери, якщо в кожній її точці поверхнева густина чисельно дорівнює відстані цієї точки від радіуса, перпендикулярного до основи півсфери.

♦ Розмістимо початок прямокутної системи координат у центрі основи півсфери, а вісь OZ направимо перпендикулярно до цієї основи. Тоді рівняння півсфери матиме вигляд $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ , де R – радіус півсфери, а поверхнева густина в точці (x; y; z) $\gamma =\sqrt{R^{2}-z^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Користуючись формулою $m=\int _{S}\int \gamma (x,y,z)dS$ та переходячи до полярних координат, дістаємо $m=R\int _{D_{xy}}\int \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}dxdy}}{\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}=R\int_{0}^{2\pi }{\frac{\rho ^{2}d\rho }{\sqrt{R^{2}-\rho ^{2}}}}=\frac{\pi ^{2}R^{3}}{2}$ (внутрішній інтеграл обчислено за допомогою підстановки ρ = R sin t).

Оскільки поверхня симетрична відносно осі OZ, то $\bar{x}=\bar{y}=0$ . Враховуючи неоднорідність поверхні, знаходимо

$\bar{z}=\frac{1}{m}\int _{S}\int z\gamma dS=\frac{2}{\pi ^{2}R^{3}}R\int _{D_{xy}}\int \sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy=$

$=\frac{2}{\pi ^{2}R^{3}}\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{0}^{R}{\rho ^{2}d\rho }=\frac{4R}{3\pi }$ .♦

Приклад

Обчислити потік векторного поля $\vec{f}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ крізь частину сфери x² + y² + z² = 1, розміщеної у першому октанті, в напрямі зовнішньої нормалі.

♦ Оскільки потік векторного поля крізь задану поверхню виражається поверхневим інтегралом $\int _{S}\int=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$ , де P = x, Q = y і R = z, то потрібно обчислити інтеграл $\int _{S}\int =xdydz+ydzdx+zdxdy$ . Розглянемо його як суму трьох інтегралів I = I₁ + I₂ + I₃. Для обчислення I₁ спроектуємо задану поверхню на площину YOZ. Дістанемо чверть круга D_yz: y² + z²≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. Рівняння сфери розв’яжемо відносно змінної х: $x=\sqrt{1-y^{2}-z^{2}}$ . Тоді

$I_{1}=\int _{S}\int xdydz=\int _{D_{yz}}\int \sqrt{1-y^{2}-z^{2}}dydz=$

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{d\varphi }\int_{0}^{1}{\sqrt{1-\rho ^{2}}\rho d\rho }=\frac{\pi }{6}$ .

Аналогічно обчислюємо інтеграли I₂ та І₃, проектуючи спочатку поверхню на площину XOZ і розв’язуючи рівняння поверхні відносно y, а потім на площину XOY та розв’язуючи її рівняння відносно z. Аналогічно попередньому дістанемо $I_{2}=I_{3}=\frac{\pi }{6}$ . Отже, $\prod{}=I_{1}+I_{2}+I_{3}=3\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ .♦

Приклад

Користуючись формулою Остроградського – Гаусса, обчислити потік векторного поля $\vec{f}= x^{2}\vec{i}+y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k}$ крізь повну поверхню конуса $z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}},\; z=0$ ю

♦ Знайдемо дивергенцію векторного поля

$div\vec{f}=\frac{\partial }{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial }{\partial y}(y^{2})+\frac{\partial }{\partial z}(z^{2})=2(x+y+z)$ .

Тоді за формулою $\prod{}=\int \int _{T}\int div\vec{f}dxdydz$ , яка випливає з формули Остроградського – Гаусса, обчислюємо потік заданого поля:

$\prod{}=\int \int _{T}\int div\vec{f}dxdydz=2\int \int _{T}\int (x+y+z)dxdydz=$

$=2\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{0}^{1}{\rho d\rho }\int_{0}^{1-\rho }{(\rho cos\varphi +\rho sin\varphi +z)dz}=\frac{\pi }{3}$ .♦