Координати та вектори в просторі

Приклад

Знайти координати точки С, яка є серединою відрізка АВ, якщо А (-1; 5; -3) і В (7; -2; 3).

♦ Формули для обчислення координат середини відрізка в просторі мають вигляд:

$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\; y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2},\; z_{C}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}$ .

Тому $x_{C}=\frac{-1+7}{2}=3,\; y_{C}=\frac{5-2}{2} =1,5,\; z_{C}=\frac{-3+3}{2}=0$ .

А значить С (3; 1,5; 0).♦

Приклад

Задано точки їхніми координатами А(2; 4; 5), В(1; -2; 3), С(-1; -2; 4). Знайти:

а) координати вектора $\vec{a}$ , його напрямні косинуси та орт-вектор;

б) скалярний добуток $\vec{a}\cdot \vec{b}$ ;

в) проекцію вектора $\vec{c}$ на вектор $\vec{d}$ ;

г) кординати точки, що поділяє відрізок ВС у відношенні α:β,

якщо $\vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC}$ , $\vec{b}=\vec{BC}$ , $\vec{c}=\vec{BC}$ , $\vec{d}=\vec{BA}$ , α:β = 1:1/

♦ a) $\vec{AC}=\left(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A};z_{C}-z_{A} \right)=$

$=\left(-1-2;-2-4;4-5 \right)=\left(-3;-6;-1 \right)$ ;

$\vec{AB}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A} \right)=$

$=\left(1-2;-2-4;3-5 \right)=\left(-1;-6;-2 \right)$ ;

$3\vec{AB}=\left(-3;-18;-6 \right)$ ;

$4\vec{AC}=\left(-12;-24;-4 \right)$

$\vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC}=\left(x_{3\vec{AB}}-x_{4\vec{AC}}; y_{3\vec{AB}}-y_{4\vec{AC}}; z_{3\vec{AB}}-z_{4\vec{AC}}\right)=$

$=\left(-3+12;-18+24;-6+4 \right)=\left(9;6;-2 \right)$

$\left|\vec{a} \right|=\sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}=\sqrt{9^{2}+6^{2}+\left(-2 \right)^{2}}=$

$=\sqrt{81+36+4}=\sqrt{121}=11$

$\left|\vec{a} \right|=11$ – модуль вектора $\vec{a}$ . Як обчислити модуль вектора можна переглянути тут.

Напрямні косинуси: $cos\alpha =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{9}{11}$ ; $cos\beta =\frac{y_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{6}{11}$ ; $cos\gamma =\frac{z_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{-2}{11}$ .

Як обчислювати скалярний добуток векторів можна переглянути тут.

Значить $\vec{a_{0}}=\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\left(\frac{9}{11};\frac{6}{11};-\frac{2}{11} \right)$ – орт вектора $\vec{a}$ .

б) $\vec{a}\cdot \vec{b}=?$

$\vec{a}\left(9;6;-2 \right);$

$\vec{b}=\vec{BC}=\left(x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B};z_{C}-z_{B} \right)=$

$=\left(-1-1;-2+2;4-3 \right)=\left(-2;0;1 \right)$

$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}=$

$=9\cdot (-2)+6\cdot 0+(-2)\cdot 1=$

$=-18+0-2=-20$

$cos\varphi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|}=$

$=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{(-2)^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{5}}=-\frac{4\sqrt{5}}{11}\approx -0,81$ ;

$\varphi =arccos\left(-0,81 \right)=\pi -arccos0,81=180^{0}-36^{0}=144^{0}$ .

в) $\vec{c}=\vec{BC}=\left(-2;0;1 \right)$ ;

$\vec{d}=\vec{BA}=\left(x_{A}-x_{B};y_{A}-y_{B};z_{A}-z_{B} \right)=$

$=\left(2-1;4+2;5-3 \right)=\left(1;6;2 \right)$ ;

пр $\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\left|\vec{d} \right|}=\frac{\left(-2;0;1 \right)\left(1;6;2 \right)}{\sqrt{1^{2}+6^{2}+2^{2}}}=$

$=\frac{-2+0+2}{\sqrt{1+36+4}}=\frac{0}{\sqrt{41}}=0$ .

г) $x_{M}=\frac{x_{B}+\lambda x_{C}}{1+\lambda };$

$y_{M}=\frac{y_{B}+\lambda y_{C}}{1+\lambda };$ $z_{M}=\frac{z_{B}+\lambda z_{C}}{1+\lambda };$ $x_{M}=\frac{1+1\cdot \left(-1 \right)}{1+1}=\frac{3}{2}=0;$

$y_{M}=\frac{-2+1\cdot \left(-2 \right)}{1+1}=\frac{-4}{2}=-2;$

$z_{M}=\frac{3+1\cdot 4}{1+1}=\frac{7}{2}=3,5$

Отже, т. М (0; -2; 3,5).♦