Лічба. Вимірювання і числа

Приклад 

Записати цифрами натуральне число:

а) сім мільйонів триста тисяч;

б) триста сорок вісім тисяч п’ятдесят чотири;

в) тридцять три мільярди 48 мільйонів сто дві тисячі сім;

г) триста тринадцять тисяч чотирнадцять.

♦ Будь-яке натуральне число можна записати за схемою 

Лічба. Вимірювання і числа

Зауваження: на схемі зображено найбільший клас мільярдів, але при записі більших чисел класів може бути теж більше.

а) Підставляючи дані в схему отримуємо число 7 300 000;  

Запис числа 7300000

 б) Підставляючи дані в схему отримуємо число  348 054;   

Запис числа 348 054

в) Підставляючи дані в схему отримуємо число  33 048 102 007;  

Запис числа 33 048 102 007

г) Підставляючи дані в схему отримуємо число 313 014.

Запис числа 313 014

Приклад 

Порівняйте натуральні числа

а) 746 та 1111;

б) 125 365 та 126 478.

♦  а) Для того, щоб порівняти натуральні числа, спочатку порівнюємо кількість цифр у кожному з них. Бачимо, що перше число записане за допомогою 3 цифр, а друге за допомогою 4. Тому заправилом порівняння натуральних чисел, число 746 < 1111.

б) Для того, щоб порівняти натуральні числа, спочатку порівнюємо кількість цифр у кожному з них. Бачимо, що кожне число записане за допомогою 6 цифр. Тому починаємо порівнювати відповідні розряди починаючи зліва: 

Лічба. Вимірювання і числа

Оскільки  3<4, то і число 125 365 < 126 478.♦

Приклад

Округлити числа:

а) до розряду сотень: 1684,  87489, 731;

б) до розряду десятків: 48671, 98, 1316.

♦ а) Округлимо числа за правилом округлення натуральних чисел. В числі 1684 перша з цифр, які треба замінити нулем, 8, тому попередню цифру (6) збільшуємо на 1. Отримаємо:  1684 ≈ 1700.

В числі 87459 перша з цифр, які потрібно замінити нулем, 5, тому попередню цифру (4) збільшуємо на один. Отримаємо: 87459 ≈ 87500. 

В числі 731 перша з цифр, які потрібно замінити нулем, 3, тому попередню цифру (7) залишаємо без змін. Отримаємо: 87459 ≈ 87500.

б) Аналогічно до попереднього випадку, отримаємо: 48671 ≈ 48670, 98 ≈ 100, 1316 ≈ 1320. ♦

Приклад 

Назвіть перших 12 натуральних чисел.

♦ Натуральними є числа, які ми використовуємо для лічби. Тобто перших 12 таких чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.♦

Приклад 

Якого числа не вистачає в записі, щоб він позначав натуральний ряд 1, 2, 3, 5, 6, 7, …

♦ Натуральні числа – це числа, які використовуються для лічби. В натуральному ряді кожне наступне більше за попереднє на 1. Очевидно, що в даному записі пропущено число 4. Запис: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… буде натуральним рядом.♦ 

Приклад

Серед поданих чисел обрати ті, які є натуральними:

  7,\; \frac{1}{12},\; 0,\; 36,\; \frac{7}{15},\; 12358

♦ Натуральними є лише ті числа, які використовуються для лічби. Число нуль та дроби не є натуральними числами. Тому натуральними є: 7, 36, 12358.♦

Приклад

Записати число, яке в натуральному ряду стоїть за числом: 1) 5; 2) 28; 3) 741; 4) 9568.

♦ В натуральному ряду кожне наступне число більше за попереднє на 1. Тому, для того, щоб дізнатися, яке число в натуральному ряду стоїть за заданим, до заданого числа потрібно додати 1:

1) 5 + 1 = 6;

2) 28 + 1 = 29;

3) 741 + 1 = 742;

4) 9568 +1 = 9569.♦

Приклад

Яке число в натуральному ряду передує числу: 1) 19; 2) 685; 3) 1597.

♦ В натуральному ряду кожне попереднє число менше від наступного н 1. Тому, щоб дізнатися, яке число передує даному, потрібно від заданого числа відняти 1. Тобто:

1) 19 – 1 = 18;

2) 685 – 1 = 684;

3) 1597 – 1 = 1596. ♦

Приклад

Скільки чисел стоїть у натуральному ряду між числами: 1) 15 і 68; 2) 48 і 154?

♦ Для того, щоб визначити скільки чисел стоїть в натуральному ряду між числами, потрібно від більшого числа відняти менше. Але в цю кількість буде враховуватися і більше число. Тому, знайдену кількість потрібно зменшити на одиницю А саме:

1) 68 – 15 = 53. Тому в натуральному ряду між числами 15 і 68 стоїть 52 числа.

2) 154 – 48 = 106. Тому в натуральному ряду між числами 48 і 154 стоїть 105 чисел.♦

Приклад

Деяке натуральне число позначили через n. Записати для числа n три наступних та три попередніх натуральних числа.

♦ Оскільки, кожне наступне число в натуральному ряді більше на одиницю від попереднього, то після числа n стоять числа:

n + 1;

n + 1 + 1 = n + 2;

n + 1 + 1 +1 = n + 3.

Аналогічно, попередні три числа запишуться n – 1; n – 2; n – 3.♦

Приклад

Запишіть у вигляді розрядних доданків числа:

а) 58496;  б) 3859;   в) 126;    г) 798111.

♦ а) 58496 =50000 + 8000 + 400 + 90 + 6 = 5·10000 + 8·1000 + 4·100 + 9·10 + 6;

б) 3859 = 3000 + 800 + 50 + 9 = 3·1000 + 8·100 + 5·10 + 9;

в) 126 = 100 + 20 + 6 = 100 + 2·10 + 6;

г) 798111 = 700000 + 90000 + 8000 + 100 + 10 + 1 = 7·100000 + 9·10000 + 8·1000 + 100 +10 +1. ♦

Приклад

Чотирицифрове число записали два рази поспіль. У скільки разів отримане восьмицифрове число більше за дане чотирицифрове?

♦ Нехай задано чотирицифрове число abcd. Запишемо його два рази поспіль: abcdabcd  – отримане восьмицифрове число. Запишемо кожне з цих чисел у вигляді суми розрядних доданків:

abcd = 1000·a + 100·b + 10·c + d 

abcdabcd =  10000000·a + 1000000·b + 100000·c + 10000·d +1000·a + 100·b + 10·c + d = (згрупуємо доданки з однаковими буквенними частинами) = (10000000 + 1000)a + (1000000 + 100)b + (100000 + 10)c + (10000 + 1)d = 10001000·a + 1000100·b + 100010·c + 10001·d = (числові коефіцієнти запишемо у вигляді добутку числа 10001 на 1000, 100, 10 та 1 відповідно) = 10001·1000·a + 10001·100·b + 10001·10·c + 10001·1·d = (за розподільним законом винесемо 10001 за дужки) = 10001(1000·a + 100·b + 10·c + d) = (в дужках маємо запис числа abcd у вигляді суми розрядних доданків) = 10001·abcd. Тобто, число abcdabcd у 10001 раз більше від числа abcd.♦

Приклад

У книжці пронумеровано сторінки з першої по двісті п’яту. Скільки цифр було насписано під час нумерування сторінок?

♦ Для нумерування сторінок було використано 9 одноцифрових чисел (від 1 до 9), 90 двоцифрових (від 10 до 99), 106 трицифрових (від 100 до 205). Отже, було написано цифр: 1· 9 + 2·90 + 3 · 106 = 9 + 180 + 318 = 507.♦

Приклад

Відомо, що KP = PE = EF = FT = 3 см. Які ще рівні відрізки на цьому малюнку? Знайдіть їх довжини.

Лічба. Вимірювання і числа

♦ Очевидно, що на малюнку рівними також є відрізки KE, PF, ET (всі вони складаються з двох однакових частин), а також KF i PT (складаються з трьох однакових частин).

Знайдемо їх довжини:

KE = PF = ET = 2 · 3 см = 6 см; 

KF = PT = 3 · 3 см = 9 см.♦

Приклад

На першому відрізку позначили вісім точок так, що відстань між сусіжніми точками дорівнює 4 см, а на другому – шість точок так, що вісдстань між сусідніми точками дорівнює  5 см. Відстань між яким крайніми з позначених точок більша: тими, що лежать на першому відрізку, чи тими, що лежать на другому відрізку?

♦ Зобразимо один відрізок і позначимо на ньому вісім точок, а також другий відрізок, на якому зобразимо 6 точок. 

Лічба. Вимірювання і числа

На першому відрізку відстань між крайніми точками дорівнює семи однаковим відрізкам довжиною по 4 см, що разом становить 28 см. На другому відрізку відстань між крайніми точками дорівню є п’яти однаковим відрізкам довжиною по 5 см, що разом становить 25 см.

Отже, відстань між крайніми точками більша на першому відрізку.♦

Приклад

Виконайте дії над натуральними числами, використовуючи координатний промінь.

♦ Лічба. Вимірювання і числа
5 + 8 = 13;

18 – 7 = 11;

6 + 15 – 17 = 4.  ♦