Тригонометричні функції

Приклад

Обчислити значення виразу:

а) $sin\: 780^{o}$ ;

б) $cos\: \frac{13\pi }{6}$ ;

в) $sin\: (-\frac{35\pi }{4})$ ;

г) $ctg(-\frac{7\pi }{4})$ ;

д) $cos\frac{\pi }{5}cos\frac{2\pi }{5}$ ;

е) $lgtg5^{o}+lgtg7^{o}+lgtg85^{o}+lgtg83^{o}$ .

♦ а) $sin\: 780^{o}=sin(360^{o}\cdot 2+60^{o})=sin60^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

б) $cos\: \frac{13\pi }{6}=cos\frac{12\pi +\pi }{6}=cos\left(2\pi +\frac{\pi }{6} \right)=cos\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

в) $sin\: (-\frac{35\pi }{4})=-sin\frac{35\pi }{4}=-sin\frac{36\pi -\pi }{4}=-sin\left(9\pi -\frac{\pi }{4} \right)=$

$=-sin\left(18\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4} \right)=-sin\frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

г) $ctg(-\frac{7\pi }{4})=-ctg\frac{7\pi }{4}=-ctg\frac{8\pi -\pi }{4}=$

$=-ctg\left(2\pi -\frac{\pi }{4} \right)=-ctg\left(-\frac{\pi }{4} \right)=ctg\frac{\pi }{4}=1$ ;

д) $cos\frac{\pi }{5}cos\frac{2\pi }{5}=\frac{2cos\frac{\pi }{5}\cdot sin\frac{\pi }{5}\cdot cos\frac{2\pi }{5}}{2sin\frac{\pi }{5}}=\frac{sin\frac{2\pi }{5}cos\frac{2\pi }{5}}{2sin\frac{\pi }{5}}=$

$=\frac{2sin\frac{2\pi }{5}cos\frac{2\pi }{5}}{4sin\frac{\pi }{5}}=\frac{sin\frac{4\pi }{5}}{4sin\frac{\pi }{5}}=\frac{sin\frac{5\pi -\pi }{5}}{4sin\frac{\pi }{5}}=$

$=\frac{sin\left(\pi -\frac{\pi }{5} \right)}{4sin\frac{\pi }{5}}=\frac{sin\frac{\pi }{5}}{4sin\frac{\pi }{5}}=\frac{1}{4}$ ;

е) $lgtg5^{o}+lgtg7^{o}+lgtg85^{o}+lgtg83^{o} =$

$= \left( lgtg5^{o}+lgtg85^{o}\right)+\left( lgtg7^{o}+lgtg83^{o}\right)=$

$= lg(tg5^{o}\cdot tg85^{o})+lg(tg7^{o}\cdot tg83^{o}) =$

$= lg(tg5^{o}\cdot tg(90^{o}-5^{o}))+lg(tg7^{o}\cdot tg(90^{o}-7^{o})) =$

$= =lg(tg5^{o}\cdot ctg5^{5})+lg(tg7^{o}\cdot ctg7^{o})=lg1+lg1=0+0=0$ .♦

Приклад

Знайти cos α, tg α, ctg α, sec α, cosec α, якщо

$sin\alpha =-\frac{4}{5},\; \pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ .

♦ Оскільки $cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\alpha$ , то

$cos\alpha =\pm \sqrt{1-sin^{2}\alpha }=\pm \sqrt{1-\left(-\frac{4}{5} \right)}=\pm \sqrt{1-\frac{16}{25}}=$

$=\pm \sqrt{\frac{9}{25}}=\pm \frac{3}{5}$ .

Оскільки кут α лежить у ІІІ координатній чверті, то cos α < 0.

Отже, $cos\alpha =-\frac{3}{5}$ .

$tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=-\frac{4}{5}:\left(-\frac{3}{5} \right)=\frac{4\cdot 5}{5\cdot 3}=\frac{4}{3}$ ;

$ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }=\frac{3}{4}$ ;

$sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha }=\frac{1}{-\frac{3}{5}}=-\frac{5}{3}$ ;

$cosec\alpha =\frac{1}{sin\alpha }=\frac{1}{-\frac{4}{5}}=-\frac{5}{4}$ .♦

Приклад

$ctg\alpha =-\frac{7}{24},\; 270^{o}<\alpha <360^{o}$ . Обчислити значення решти тригонометричних функцій.

♦ Оскільки $1+ctg^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha }$ , то $sin^{2}\alpha =\frac{1}{1+ctg^{2}\alpha }$ ;

$sin^{2}\alpha =\frac{1}{1+\left(-\frac{7}{24} \right)^{2}}=\frac{1}{1+\frac{49}{576}}=\frac{1}{\frac{625}{576}}=\frac{576}{625}$ ;

$sin\alpha =\pm \sqrt{\frac{576}{625}}=\pm \frac{24}{25}$ .

Оскільки кут α лежить у IV координатній чверті, то sin α < 0.

Отже, $sin\alpha =-\frac{24}{25}$ .

$ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$ ;

$cos\alpha =ctg\alpha \cdot sin\alpha =-\frac{7}{24}\cdot \left(-\frac{24}{25} \right)=\frac{7}{25}$ ;

$tg\alpha =\frac{1}{ctg\alpha }-\frac{1}{-\frac{7}{24}}=-\frac{24}{7}$ .♦

Приклад

Спростити вираз:

а) $\left(\frac{sin\alpha +sin3\alpha }{cos\alpha +cos3\alpha } \right)\left(1+cos4\alpha \right)$ ;

б) $2cos^{2}\left(\frac{\alpha }{2}-\frac{3}{2}\pi \right)+\sqrt{3}cos\left(\frac{5}{2}\pi -\alpha \right)-1$ ;

в) $\sqrt{\left(ctg\alpha -tg\alpha \right)\cdot 2ctg2\alpha }\cdot tg2\alpha +2,\; \frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$ .

♦ а) $\left(\frac{sin\alpha +sin3\alpha }{cos\alpha +cos3\alpha } \right)\left(1+cos4\alpha \right) = \frac{2sin2\alpha cos\alpha }{2cos2\alpha cos\alpha }\cdot 2cos^{2}2\alpha =$

$=\frac{4sin2\alpha \cdot cos\alpha \cdot cos^{2}2\alpha }{2cos2\alpha \cdot cos\alpha }=2sin2\alpha cos2\alpha =sin4\alpha$ .

б) $2cos^{2}\left(\frac{\alpha }{2}-\frac{3}{2}\pi \right)+\sqrt{3}cos\left(\frac{5}{2}\pi -\alpha \right)-1 = 2sin^{2}\frac{\alpha }{2}+\sqrt{3}sin\alpha -1=$

$=-cos\alpha +\sqrt{3}sin\alpha =-2\left(\frac{1}{2}cos\alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha \right)=$

$=-2\left(sin\frac{\pi }{6}cos\alpha -cos\frac{\pi }{6}sin\alpha \right)=$

$=-2sin\left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)=2sin\left(\alpha -\frac{\pi }{6} \right)$ .

в) $\sqrt{\left(ctg\alpha -tg\alpha \right)\cdot 2ctg2\alpha }\cdot tg2\alpha +2,\; \frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}=$

$=\sqrt{\left(\frac{cos\alpha }{sin\alpha }-\frac{sin\alpha }{cos\alpha } \right)\cdot 2\frac{cos2\alpha }{sin2\alpha }}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2=$

$=\sqrt{\frac{cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha }{sin\alpha cos\alpha }\cdot 2\frac{cos2\alpha }{sin2\alpha }}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2=$

$=\sqrt{\frac{2cos2\alpha \cdot 2cos2\alpha }{sin2\alpha \cdot sin2\alpha }}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2=$

$=\sqrt{\frac{4cos^{2}2\alpha }{sin^{2}2\alpha }}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2=$

$=\frac{2\left|cos2\alpha \right|}{\left|sin2\alpha \right|}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2$ .

Оскільки $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$ , то $\pi <2\alpha <\frac{3\pi }{2}$ (кут 2α лежить у ІІІ координатній чверті). Отже, cos 2α < 0, sin 2α < 0; $\frac{2\left|cos2\alpha \right|}{\left|sin2\alpha \right|}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2=$

$=\frac{-2cos2\alpha \cdot sin2\alpha }{-sin2\alpha \cdot cos2\alpha }+2=2+2=4$ . ♦

Приклад

Знайти найбільше та найменше значення виразу

3sinx + cos x.

♦ Нехай 3sinx + cos x = А. Поділимо ліву й праву частину даної рівності на $\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$ ; $\frac{3}{\sqrt{10}}sinx+\frac{1}{\sqrt{10}}cosx=\frac{A}{\sqrt{10}}$ . Оскільки $\left(\frac{3}{\sqrt{10}} \right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{10}} \right)^{2}=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=\frac{10}{10}=1,$ то знайдеться такий кут φ, коли $cos\varphi =\frac{3}{\sqrt{10}}$ і $sin\varphi =\frac{1}{\sqrt{10}}$ . $sinx\cdot cos\varphi +sin\varphi \cdot cosx=\frac{A}{\sqrt{10}}$ ; $sin(x+\varphi )=\frac{A}{\sqrt{10}}$ ; $A=\sqrt{10}sin(x+\varphi )$ . Отже, $-\sqrt{10}\leq A\leq \sqrt{10}$ ⇒ $-\sqrt{10}\leq 3sinx+cosx\leq \sqrt{10}$ . ♦