Нерівності

Приклад

Розв’язати нерівності:

а) 3 (5+х) > 11 + 8 (х – 2);

б) у – 7 (у + 1) ≤ 5 – 6 (у + 2).

♦ а) 3 (5 + х) > 11 + 8 (х – 2);

15 + 3х > 11 + 8х – 16;

3х – 8х > 11 – 16 – 15;

-5х > – 20;

х < -20 : (-5);

х < 4.

Отже, х ∈ (-∞; 4).

б) у – 7 (у + 1) ≤ 5 – 6 (у + 2);

у – 7у – 7 ≤ 5 – 6у – 12;

у – 7у + 6у ≤ 5 – 12 + 7;

0·у ≤ 0;

Отже, у ∈ R.♦

Приклад

Розв’язати систему лінійних нерівностей

 \left\{\begin{matrix} 4x-44\geq 0,\\ \frac{1}{3}x+7>12 \end{matrix}\right.

♦ Для того, щоб розв’язати систему лінійних нерівностей, потрібно знайти розв’язок кожної нерівності окремо, а потім знайти перетин їх розв’язків. Тобто:

 4x-44\geq 0 ,

 4x\geq 44 ,

 x\geq 11 ,

 \frac{1}{3}x+7>12 ,

 \frac{1}{3}x>5 ,

 x>15 .

Зобразимо розв’язки кожної з нерівностей на координатній прямій:

Нерівності

Бачимо, що штриховки перетнулися на проміжку (15; +∞), при чому точка х = 15 не включається. Отже, х є (15; + ∞) – розв’язок заданої нерівності.

Як розв’язувати лінійні нерівності можна переглянути тут. ♦

Приклад

Розв’язати нерівність  \frac{x-4}{x+5}<0 .

♦  Дію ділення замінимо на дію множення, врахувавши, що знаменник не дорівнює  нулю. Тобто:  (x-4)(x+5)<0.

Використаємо метод інтервалів, знайшовши корені лівої частини:

 x-4=0 \Rightarrow x=4,

 x+5=0 \Rightarrow x=-5

Нанесемо їх на числову пряму тапобудуємо “змійку”: 

Метод інтервалів
Метод інтервалів

Маємо:  x\in (-5;4)