Чотирикутники

Приклад

Скільки градусів містить центральний кут кола, який спирається на дугу, що становить:

1)  \frac{1}{4}  кола; 

2)  \frac{5}{6}  кола; 

3)  \frac{7}{12}  кола?

♦ Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги кола, на яку цей кут спирається. Оскільки градусна міра всього кола – 360о, то:

1)  \frac{1}{4}\cdot 360^{0}=90^{0};

2)  \frac{5}{6}\cdot 360^{0}=300^{0} ;

3)  \frac{7}{12}\cdot 360^{0}=210^{0} .♦

Приклад

Знайдіть градусні міри двох дуг кола, на які його поділяють дві точки, якщо градусна міра однієї з дуг на 100о більша за градусну міру другої.

♦ Нехай градусна міра меншої дуги – х, тоді градусна міра другої – х + 100о. Оскільки градусна міра кола 360о, то маємо рівняння:

х + х + 100о = 360о,

2х = 260о,

х = 130о.

Отже, градусна міра однієї дуги 130о, а іншої 130о + 100о = 230о.♦

Приклад

Знайдіть вписаний кут, якщо градусна міра дуги, на яку він спирається, дорівнює: 1) 48о; 2) 126о; 3) 180о; 4) 254о; 5) α.

♦ Оскільки вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається, то:

1) 48о : 2 = 24о;

2) 126о : 2 = 63о;

3) 180о : 2 = 90о;

4) 254о : 2 = 127о;

5) α : 2 =  \frac{\alpha }{2} .♦

Приклад

Точка В кола і його центр О лежать по різні сторони від хорди АС. Знайдіть:

1) кут АВС, якщо ∠ АОС = 124о;

2) кут АОС, якщо ∠ АВС = 94о.

♦ а) Чотирикутники

Градусна міра дуги АВС дорівнює градусній мірі кута АВС = 124о. Тоді, градусна міра дуги АС = 360о – 124о = 236о. Кут АВС – вписаний кут, що спирається на дугу АС, а значить: ∠ АВС = 236о : 2 = 118о.

б) ЧотирикутникиКут АВС спирається на дугу АС, тому градусна міра дуги АС = 2·∠АВС = 2 · 94о = 188о. Тоді градусна міра дуги АВС = 360о – 188о = 172о. Значить кут АОС – центральний кут, що спирається на дугу АВС, а отже, його градусна міра дорівнює градусній мірі цієї дуги: ∠ АОС = 172о .♦

Приклад

Точки В і D лежать на колі по одну сторону від хорди АС, ∠ АВС = 42о. Знайдіть кут АDС. 

♦ Чотирикутники

 ∠ ADC = ∠ ABC = 42o, як вписані кути, що спираються на одну дугу.♦

Приклад 

Доведіть, що прямокутник, діагоналі якого перпендикулярні, є квадратом.

♦ ЧотирикутникиРозглянемо трикутник АОВ: ∠ АОВ = 90о, ∠ BAO = ∠ ABO = (180– 90o) : 2 = 45o. Аналогічно можна обчислити ∠ ВСА = 45о. Розглянемо трикутник АВС: ∠ А  = ∠ С = 45о ⇒ Δ АВС – рфвнобедрений, прямокутний. Отже, АВ = ВС. Аналогічно, AD = CD.Отже,  ABCD – квадрат. ♦

Приклад 

У паралелограмі ABCD діагональ АС поділяє кут А навпіл. Доведіть, що чотирикутник ABCD – ромб.

♦ Чотирикутники∠ САD = ∠ ACB (як внутрішні різносторонні при перетині паралельних прямих AD і BC січною АС). Тоді ∠ ACB = ∠ BAC ⇒ Δ ABC – рівнобедрений, а значить АВ = ВС. Оскільки, ABCD – паралелограм, то AD = BC, AB = CD ⇒ AB = BC = CD = AD ⇒ ABCD – ромб.♦

Приклад 

Відомо, що жоден з кутів паралелограма не є гострим. Що можна сказати про цей паралелограм?

♦ Оскільки жоден з кутів не є гострим, то всі вони або прямі, або тупі. Тупими вони бути не можуть, оскільки всі кути чотирикутника в сумі повинні дорівнювати 360о, а якщо всі кути будуть тупими, то їх сума буде більшою за 360о. Тому кути можуть бути лише прямими. А якщо в чотирикутнику всі кути прямі, то такий чотирикутник називаєтиься прямокутником. Тому заданий паралелограм є прямокутником.♦

Приклад 

Знайдіть кути паралелограма, зображеного на рисунку

Чотирикутники

♦ ∠ ВСА = ∠ DАС  (як внутрішні різностороннні при перетині паралельних AD i BC січною АС). Тоді ∠ ВСА = 25о. Отже, ∠ C = ∠ ВСА + ∠ ACD = 25o + 35o = 60o. За властивістю кутів паралелограма протилежні кути рівні, а тому ∠ А = ∠ С = 60о. Сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180о. Тому ∠ В = ∠ D = 180o – 60= 120o.♦

Приклад 

Чи можна накреслити опуклий чотирикутник, у якого три кути прямі, а четвертий гострий?

♦ За властивістю кутів чотикирикутника, їх сума повинна дорівнювати 360о. Якщо чотирикутник матиме три прямих кути і один гострий, то їх сума буде меншою за 360о, що не можливо. Тому такого чотирикутника побудувати не можна.♦

Приклад 

Чи можна описати коло навколо чотирикутника АВСD, якщо:

1) ∠ А = 33о, ∠ С = 137о;

2) ∠ В = 69о, ∠ D = 111o.

♦ За теоремою, навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180о. Перевіримо чи виконується ця умова для кожного випадку.

1) ∠ А + ∠ С = 33о + 137о = 170о, значить, навколо такого чотирикутника не можна описати коло;

2) ∠ В + ∠ D = 69о + 111o = 180о, значить, навколо такого чотирикутника можна описати коло. ♦

Приклад 

Три кути чотирикутника, вписаного в коло, взяті по порядку слідування, відносяться як 2 : 6 : 7. Знайдіть кути чотирикутника.

♦ За властивістю кутів чотирикутника вписаного в коло, сума двох протилежних кутів дорівнює 180о. Нехай задані кути чотирикутника відповідно дорівнюють 2х, 6х та 7х. Тоді: 2х + 7х = 180о ⇒ х = 20о. А отже, кути чотирикутника відповідно дорівнюють: 40о, 120о, 140о та 180о – 120о = 60о.♦

Приклад 

Основи трапеції, у яку можна вписати коло, дорівнюють 7 см і 9 см. Знайти периметр трапеції.

♦ Якщо трапецію можна описати навколо кола, то сума її протилежних сторін однакова (за теоремою про описані чотирикутники). Тоді сума основ дорівнює сумі бічних сторін, тобто 7 + 9 = 16 (см). Периметр – це сума всіх сторін трапеції, звідси Р = 16 + 16 = 32 (см) ♦

Приклад 

Коло, вписане в рівнобічну трапецію, поділяє його точкою дотику на відрізки, довжина більшого з яких дорівнює 8 см. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо її периметр дорівнює 60 см.

♦ Чотирикутники

CD + AB = BC + AD = P : 2 (за теоремою про описані чотирикутники).

Нехай відрізок СК = х, тоді:

АВ + CD = 8 + х + 8 + х = 30,

16 + 2х = 30,

2х = 14,

х = 7.

Розглянемо Δ СОК (∠ К = 90о, оскільки радіус перпендикулярний до дотичної в точці дотику, ОК – радіус вписаного кола):

СО2 = ОК2 + СК2 (за теоремою Піфагора), СО2 = ОК2 + 49 = r2 + 49.

Розглянемо Δ СОМ (∠М = 90о, ОМ = r):

СМ2 = СО2 – ОМ2 = 49 + r2 – r2 = 49,

СМ = 7 см.

Отже, ВС = 2СМ = 2·7 = 14 см. ♦

Приклад 

Рівнобічну трапецію, один з кутів якої дорівнює 72о, вписано в коло. Кут між діагоналями трапеції, що лежить проти бічної сторони, дорівнює 36о. Знайдіть положення центра кола, описаного навколо трапеції, відносно трапеції.

♦ Чотирикутники

∠С = 180о – ∠ А = 180о – 72о = 108о

∠ ВСК = (180о – 144о) : 2 = 36о : 2 = 18о

∠ АСD = 108о – 18о = 90о 

∠ АСD – вписаний ⇒ АD – діаметр ⇒ центр кола є серединою більшої основи.♦