Функції та їх класифікація

Приклад

Дано функцію

$f(x) = \frac{3x}{2x^{2}-1}$ . Знайти: $f(0),\; f(-3), \; f(a)$ .

♦ Щоб обчислити значення функції в точці, необхідно відповідне значення х підставити у функцію і обчислити отриманий числовий вираз.

$f(0)=\frac{3\cdot 0}{2\cdot 0-1}=0,\;$

$f(-3)=\frac{3\cdot (-3)}{2\cdot (-3)^{2}-1}=-\frac{9}{17},$

$f(a)=\frac{3a}{2a^{2}-1}.$ ♦

Приклад

Перевірити чи є тотожними функції

$f(x)=2x+3$ та $g(x)=\frac{4x^{2}-9}{2x-3}$ .

♦ Функції є тотожними, коли виконуються умови:

1) $D(f) = D(g);$

2) $f(x)=g(x)$ для будь-яких х ∈ D.

Функція f(x) є визначеною для будь-яких значень х. Тому: $D(f): x ∈ R$ .

Функція g(x) є дробом, тому значення знаменника цього дробу не може дорівнювати нулю. Отже:

2х-3≠0;

2х≠3;

х≠1,5

х∈(-∞; 1,5) ∪ (1,5;+ ∞)

Оскільки області визначення функцій не співпадають, то функції не є тотожними.♦

Приклад

Дослідити на парність функції:

а) $f\left(x \right)=\frac{x^{3}}{1+x^{4}}$ ;

б) $f\left(x \right)=\frac{2x^{2}}{13+x^{4}}$ ;

в) $f\left(x \right)=\frac{3x}{1+x}$ .

♦ Для того, щоб дослідити функцію на парність чи непарність, потрібно підставити у функцію замість х значення (-х) та перевірити виконання умов: f(-x) = f(x) чи f(-x) =- f(x), чи f(-x) ≠ f(x) і f(-x) ≠ f(x).

a) $f\left(x \right)=\frac{x^{3}}{1+x^{4}}$ ;

$f\left(-x \right)=\frac{(-x)^{3}}{1+(-x)^{4}}=-\frac{x^{3}}{1+x^{4}}=-f\left(x \right)$ – функція непарна.

б) $f\left(x \right)=\frac{2x^{2}}{13+x^{4}}$ ;

$f\left(-x \right)=\frac{2(-x)^{2}}{13+(-x)^{4}}=\frac{2x^{2}}{13+x^{4}}=f\left(x \right)$ – функція парна.

в) $f\left(x \right)=\frac{3x}{1+x}$ ;

$f\left(-x \right)=\frac{3(-x)}{1+(-x)}=\frac{-3x}{1-x} ≠ f(x)$ і ≠ – f(x) – функція ні парна, ні непарна.♦

Приклад

Щоденні фіксовані витрати взуттєвої майстерні становлять 1750 грн., а змінні витрати на виготовлення однієї пари взуття – 240 грн. Записати функцію загальних витрат щоденної роботи майстерні. Визначити загальні витрати щоденного виготовлення 15 пар взуття.

♦Загальні витрати на виробництво продукції – це сукупність постійних витрат (оренди приміщенні, сплата податків, сплата рахунків за електроенергію, амортизаційні витрати на обладнання і т.д.) та змінних витрат (використані матеріали, сировина, оплата праці і т.д.) Тому функцію загальних витрат можна записати у вигляді V = P + Z·X, де P- постійні витрати, Z – змінні витрати, X – це обсяг виготовленої продукції. Отже, функція загальних витрат для даного випадку матиме вигляд: V = 1750 + 240·X. На виготовлення 15 пар взуття майстерня витрачає: V(15) = 1750 + 240·15 = 1750 + 3600 = 5350 (грн.)♦

Приклад

Дано функцію

Приклад

Перевірити чи є тотожними функції

Приклад

Дослідити на парність функції:

Приклад

Залишити відповідь Скасувати коментар