Числові множини

Приклад

Нехай задано множину А.

Знайти супремум, інфімум, максимум, мінімум, дослідити чи є вона обмеженою або обмеженою зверху (знизу), якщо:

а) А = [-12; 9];

б) А = (-12; 9);

в) A = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2 };

г) A = { $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3},..., \frac{n+1}{n},...$ }.

♦ а) Задана множина являє собою відрізок, тому min A = inf A = -12, max A = sup A = 9. А отже, множина є обмеженою.

б) В цьому випадку множина А являє собою проміжок, кінці якого не включаються до самої множини. Тому максимуму і мінімуму дана множина не має. Але inf A = -12 та sup A = 9. Множина є обмеженою.

в) Задана множина є нескінченною. Вона містить найбільший елемент – число 2, тому max A = sup A = 2. Проте дана множина не містить найменшого елемента, а значить inf A = – ∞. Бачимо, що множина обмежена зверху та необмежена знизу.

г) Дана множина є нескінченною. Її найбільший елемент – число 2, max A = sup A = 2. Найменшого елемента множина не містить, але при зростанні числа n, елементи множини набувають значень як завгодно близьких до 1. Тому: inf A = 1. А сама множина А є обмеженою. ♦

Приклад

Розв’язати рівняння на множині дійсних чисел:

а) $\left|x+1 \right|=3$ ;

б) $\left|x^{2}+1 \right|=-x^{2}-1$ .

♦ а) При розв’язуванні рівнянь з модулями потрібно опиратися на означення модуля. Тому розглядати необхідно два різних випадки:

$x+1\geq 0$ та x+1<0.

Якщо $x+1\geq 0$ , то рівняння набуває вигляду:

x+1 = 3

х = 2.

Якщо ж x+1<0, то рівняння набуває вигляду:

x+1 = – 3

х = – 4.

Отже задане рівняння має два дійсних корені: -4 та 2.

б) Аналогічно до попереднього випадку, скористаємось означенням модуля. Дана рівність справедлива лише в одному випадку, коли $x^{2}+1\leq 0/$ Маємо: $x^{2}\leq - 1$ , що неможливо, оскільки х² число завжди додатнє, або нуль, а тому не може бути меншим за від’ємне число. Отже, задане рівняння не має коренів на множині дійсних чисел. ♦

Приклад

Знайти множину раціональних чисел, на якій визначені наступні вирази:

а) $\sqrt{x^{2} - 9}$ ; б) $\frac{5x+1}{\sqrt{3x-6}}$

♦ а) За означенням, корінь квадратний може існувати тільки у випадку, коли підкореневий вираз є числом додатним або нулем . Тому:

$x^{2}-9\geq 0$ ;

$(x-3)(x+3)\geq 0$ ;

$-3\leq x\leq 3$ ;

$x\in (-\propto ;-3]\bigcup{}[3;\propto)$ ;

Отже, заданий вираз існує при $x\in (-\propto ;-3]\bigcup{}[3;\propto)$ .

б) В даному випадку корінь стоїть в знаменнику дробу, тому він не може набувати значення нуль. Чисельник визначений при будь-яких значеннях змінних, тому він не накладає обмежень на область визначення виразу. Тому:

$3x-6>0$

$3x>6$

$x>2$

$x\in (2;\propto)$

Отже, заданий вираз існує при $x\in (2;\propto)$ ♦

Приклад

Записати дані раціональні числа у вигляді звичайних дробів:

а) 7, 325; б) 3, (21); в) 12, 45(4).

♦ Всі раціональні числа можна записати у вигляді нескінченного періодичного дробу. За правилом перетворення раціональних чисел в нескінченні дроби маємо:

а) $7,325=1\frac{325}{1000} = 1\frac{13}{40}$ ;

Даний дріб не є періодичним, тому для того, щоб перевести його в звичайний, достатньо цілу частину залишити без змін, в чисельник записати те число, що стоїть після коми, а в знаменник записати “1” та стільки нулів, скільки знаків після коми.

б) $3,(21)=3\frac{21}{99}=3\frac{7}{33}$ ;

Для того, щоб перетворити заданий періодичний дріб в звичайний потрібно: цілу частину залишити без змін, в чисельник записати число,я яке стоїть в чисельнику, а в знаменник записати стільки “9”, скільки чисел в періоді.

в) $12,45(4)=12\frac{454-45}{900}=12\frac{409}{900}$ .

Щоб в даному випадку записати періодичний дріб у вигляді звичайного, необхідно: цілу частину лишити без змін, в чисельник записати різницю числа з періодом та числа до періоду, а в знаменник записати “9” і дописати до неї стільки нулів, скільки чисел в періоді. ♦

Приклад

Показати, що сума раціонального та ірраціонального чисел є число ірраціональне, а сума двох ірраціональних чисел не завжди ірраціональне число.

♦ Нехай r – довільне раціональне число, а і – ірраціональне число. Тоді їх сума матиме вигляд r + і = s. Припустимо, що s – раціональне число. Тоді: і = s – r , що є різницею двох раціональних чисел, а значить теж число раціональне. Маємо суперечність. Отже, і – число ірраціональне.

Для того, щоб довести, що сума двох ірраціональних чисел може бути ірраціональним числом, достатньо навести приклад таких чисел. Наприклад, нехай і₁ =7 + $\sqrt{2}$ , а і₂ = 7 – $\sqrt{2}$ – ірраціональні числа, тобто такі, які можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного дробу. Проте сума цих чисел матиме вигляд: і₁+ і₂ = 7 + $\sqrt{2}$ + 7 – $\sqrt{2}$ = 7 + 7 =14, що є числом раціональним. ♦