Числові послідовності

Приклад

Знайти різницю d арифметичної прогресії, якщо а₁ = 3, а₁₅ = 73.

♦ Використаємо формулу n-го члена арифметичної прогресії. Запишемо а₁₅:

а₁₅= а₁ + (n – 1)d; Підставимо задані значення та розв’яжемо рівняння відносно d:

73 = 3 + 14d;

73 – 3 = 14d;

70 = 14d;

d = 70 : 14;

d = 5. ♦

Приклад

Знайти суму 20-ти перших членів арифметичної прогресії, якщо а₂ + а₁₉ = 78.

♦ $S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot 20.$

Використовуючи властивість членів арифметичної прогресії, маємо а₁ + а₂₀ = а₂ + а₁₉ = 78. Отже, $S_{20}=\frac{78}{2}\cdot 2=78\cdot 10=780.$ ♦

Приклад

Знайти дев’ятий член арифметичної прогресії (a_n), якщо а₄ = 9, а₁₇= -17.

♦ Запишемо за формулою 4-ий та 17-ий члени даної арифметичної прогресії:

$\left\{\begin{matrix} a_{4}=a_{1}+d(4-1),\\ a_{17}=a_{1}+d(17-1); \end{matrix}\right.$ і $\left\{\begin{matrix} a_{4}=9,\\ a_{17}=-17, \end{matrix}\right.$ то $\left\{\begin{matrix} a_{1}+3d=9,\\ a_{1}+16d=-17, \end{matrix}\right.$

тоді $\left\{\begin{matrix} a_{1}+3d=9,\\ -a_{1}-16d=17, \end{matrix}\right.$

звідси $-13d=26;\; d=26:(-13);\; d=-2.$

Тоді $a_{1}+3\cdot (-2)=9; a_{1}-6=9; a_{1}=9+6; a_{1}=15.$

Звідси $a_{9}=a_{1}+d(9-1)=a_{1}+8d=15+8\cdot (-2)=15-16=-1$ .♦

Приклад

Знайти перший член та знаменник q геометричної прогресії,

якщо b₅ – b₁= 15; b₄ – b₂ = 6.

♦ Запишемо b₅, b₄ та b₂за формулою n – го члена через b₁ та q:

b₅= b₁ · q⁴; b₄ = b₁ · q³; b_{2 =}b₁ · q.

Підставимо дані рівності в задані і отримаємо систему з двох рівнянь з двома невідомими: $\left\{\begin{matrix} b_{1}q^{4}-b_{1}=15,\\ b_{1}q^{3}-b_{1}q=6; \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} b_{1}(q^{4}-1)=15,\\ b_{1}q(q^{2}-1)=6;\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} b_{1}q(q^{2}-1)(q^{2}+1)=15,\\ b_{1}q(q^{2}-1)=6. \end{matrix}\right.$

Поділимо перше рівняння системи на друге:

$\frac{q^{2}+1}{q}=\frac{15}{6};$

$\frac{q^{2}+1}{q}=\frac{5}{2};$

$\left\{\begin{matrix} 2(q^{2}+1)=5q\\ q\neq 0; \end{matrix}\right.$

$2q^{2}-5q+2=0;$

$D=25-16=9;$

$q_{1}=\frac{5+3}{4}=2;\; q_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

Якщо q = 2, то $b_{1}=\frac{6}{q^{3}-q}=\frac{6}{6}=1.$

Якщо $q=\frac{1}{2},$ то $b_{1}=\frac{6}{\frac{1}{8}-\frac{1}{2}}=\frac{6}{-\frac{3}{8}}=-\frac{48}{3}=-16.$

Отже: $b_{1}=1;\; q=2$ або $b_{1}=-16;\; q=\frac{1}{2}.$ ♦

Приклад

Знайти суму членів геометричної прогресії (b_n) від четвертого по восьмий включно, якщо b₁ = 5, q = -2.

♦ Суму членів від четвертого по восьмий будемо шукати за формулою n перших членів геометричної прогресії. Але в ролі першого члена будемо брати четвертий, всього таких членів буде 5 (четвертий, п’ятий, шостий, сьомий і восьмий). Знайдемо b₄:

b₄= b₁·q ^n-1 ⇒ b₄= 5·(-2)³ = 5· (-8) = – 40.

Тоді шукана сума:

$S_{5}=\frac{b_{4}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{-40(1-(-2)^{5})}{1-(-2)}=\frac{-40\cdot 33}{3}= -440$ .♦

Зауваження: шукану суму можна знайти S₈ – S₄+ b₄= S₈ – S₃.