Диференційовні функції та диференціал

Приклад

Визначити диференціали таких функцій:

а) $f(x) = lnx^{2}$ ;

б) $f(x) =(2x^{5}+3x)^{2}$ ;

в) $f(x) =sin\sqrt{x}$ .

♦ Запишемо диференціали заданих функцій за формулою: $df(x)=f'(x)dx$ .

а) $f(x) = lnx^{2}=2lnx$ ;

$f'(x)=2\frac{1}{x}=\frac{2}{x}$ ;

$df(x)=\frac{2}{x}dx$ .

б) $f'(x) =2(2x^{5}+3x)(10x^{4}+3)=40x^{9}+60x^{5}+12x^{5}+18x$ ;

$df(x) = (40x^{9}+60x^{5}+12x^{5}+18x)dx$

в) $f'(x) =cos\sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{cos\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ ;

$df(x)=\frac{cos\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} dx$ . ♦

Приклад

Знайти наближене значення функції $f(x)=(2x-4)^{7}(3x-5)$ в точці х =1,86.

♦ Обчислимо наближене значення функції за формулою $f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$ . Для цього приймемо х_о=2, тоді х – х_о= 0,14. Знайдемо значення функції та значення похідної в точці х_о.

$f(2)=(2\cdot 2-4)^{7}(3\cdot 2-5)=0$

$f'(x)=7(2x-4)^{6}\cdot 3=21(2x-4)^{6}$ ⇒ $f'(2)=7(2\cdot 2-4)^{6}\cdot 3=21(2\cdot 2-4)^{6}=0$

Підставивши знайдені значення в формулу, отримаємо : $f(1,86)\approx 0+0\cdot0,14=0$ ♦

Приклад

Обчислити повний диференціал функції;

а) $f(x;y)=3x^{2}-5y^{3}$ ;

б) а) $f(x;y) = sin(xy) + cos y$ ;

в) $f(x;y) = 2xy + ln(x^{2}y^{2})$ .

♦ а) $df(x;y) = f'_{x}dx+ f'_{y}dy= 6xdx-15y^{2}dy$ ;

б) $df(x;y) = f'_{x}dx+ f'_{y}dy=$

$= y\cdot cos(xy) dx + (x\cdot cos (xy)-siny) dy$ ;

в) $df(x;y) = f'_{x}dx+ f'_{y}dy=$

$= (2y+\frac{1}{x^{2}y^{2}}\cdot 2xy^{2}) dx + (2x+\frac{1}{x^{2}y^{2}}\cdot 2x^{2}y) dy=$

$=(2y+\frac{2}{x}) dx + (2x+\frac{2}{y}) dy$ .♦

Приклад

Знайти повний диференціал та частинні похідні функції $z=x^{2}y+x^{2}y,\; \; x=3u^{2}-4v,\; y=4u-3v^{2}$ .

♦ Для обчислення частинних похідних скористаємося формулами:

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$ ,

$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$ .