Звичайні дроби та дії з ними

Приклад

У класі 35 учнів.

$\frac{3}{7}$ становлять хлопчики. $\frac{1}{5}$ з них займаються боксом, $\frac{1}{3}$ – карате, а решта відвідують гурток з легкої атлетики. Скільки хлопчиків з класу займаються боксом, карате та легкою атлетикою.

♦ Оскільки загальна кількість дітей у класі задана, а потрібно знайти яку частину становить кількість хлопчиків від загальної кількості учнів у класі, то маємо задачу на знаходження дробу від числа. Спочатку знайдемо скільки всього хлопчиків у класі. За правилом знаходження дробу від числа дістаємо: 35 : 7 · 3 = 15 учнів. Тобто, в класі 15 хлопчиків. За тим же правилом знаходимо скільки хлопчиків займається боксом: 15 : 5 · 1 = 3 хлопчики, карате: 15 : 3 · 1 = 5 учнів. Знайдемо кількість хлопчиків, які відвідують гурток з легкої атлетики: 15 – 5 – 3 = 7 учнів. Отже, 3 хлопчики займаються боксом, 5 – карате, а 7 – легкою атлетикою.♦

Приклад

Четверта частина зібраних овочів становить 28 кг. Скільки кілограмів овочів всього зібрали?

♦ Оскільки потрібно знайти загальну кількість зібраних овочів, то маємо задачу на знаходження числа за його дробом. Тому: 28 кг – це $\frac{1}{4}$ , а х кг – це всі овочі. За правилом знаходження чила за його дробом маємо: х = 28 · 4 : 1 = 112. Отже, всього зібрали 112 кілограмів овочів. ♦

Приклад

Виконати додавання дробів

$\frac{4}{7}$ та $\frac{11}{13}$ .

♦ Для того, щоб додати дроби з різними знаменниками, потрібно:

1. Звести дроби до спільного знаменника. Їх спільним знаменником буде НСК (найменше спільне кратне) чисел, що стоять у знаменниках дробів. В даному випадку – це число 91.

2. Знайти додаткові множники до кожного з дробів. Для цього потрібно спільний знаменник поділити на знаменник кожного дробу: 91:7 =13, 91: 13 = 7.

3. Чисельник кожного дробу домножити на знайдений додатковий множник: 4·13 = 52, 11·7 = 77.

4. В чисельник записати суму отриманих добутків, а в знаменник – спільний знаменник дробів.

Додавання дробів — Додавання звичайних дробів з різними знаменниками

Отримали результат додавання двох дробів з різними знаменниками.

В результаті виконано переведення неправильного дробу в мішаний дріб.

Приклад

Обчисліть значення виразу:

$(\frac{3}{7}\cdot \frac{14}{3}-1\frac{15}{28}):\frac{26}{4}$ .

♦ Виконаємо дії:

1) $\frac{3}{7}\cdot \frac{14}{3}=\frac{3\cdot 14}{7\cdot 3}=2$ ;

2) $2-1\frac{15}{28}=1\frac{28}{28}-1\frac{15}{28}=\frac{13}{28}$ ;

3) $\frac{13}{28}:\frac{26}{4}=\frac{13}{28}\cdot \frac{4}{26}=\frac{13\cdot 4}{28\cdot 26}=\frac{1}{14}$ ;

Отже, $(\frac{3}{7}\cdot \frac{14}{3}-1\frac{15}{28}):\frac{26}{4}=\frac{1}{14}$ .♦

Приклад

У трьох ящиках

$32\frac{3}{16}$ кг яблук. У першому ящику $11\frac{1}{24}$ кг, у другому на $\frac{3}{8}$ кг більше, ніж у першому. Скільки кілограмів яблук у третьому ящику?

♦ Визначимо скільки яблук у другому ящику: $11\frac{1}{24}+\frac{3}{8}=11\frac{1}{24}+\frac{9}{24}=11\frac{10}{24}=11\frac{5}{12}$ (кг). Тепер знайдемо скільки яблук у третьому ящику:

$32\frac{3}{16}-11\frac{1}{24}-11\frac{5}{12}=\frac{515}{16}-\frac{265}{24}-\frac{137}{12}=$

$=\frac{1545}{48}-\frac{530}{48}-\frac{548}{48}=\frac{467}{48}=9\frac{35}{48}$ (кг).♦

Приклад

Зведіть дроби до знаменника 72:

$\frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\frac{7}{8},\frac{8}{9},\frac{11}{12},\frac{17}{18},\frac{23}{24},\frac{35}{36}$

♦ Для того, щоб звести всі дроби до спільного знаменника 72, чисельник та знаменник кожного з них потрібно помножити на відповідне число. Для того, щоб знайти це число, необхідно спільний знаменник (число 72) поділити на знаменник кожного дробу. Для кожного дробу отримаємо наступні числа відповідно: 36, 24, 18, 12, 9, 8, 6, 4, 3, 2. Отже, маємо:

$\frac{1}{2}= \frac{1\cdot 36}{2\cdot 36}=\frac{36}{72}$ ,

$\frac{2}{3}= \frac{2\cdot 24}{3\cdot 24}=\frac{48}{72}$ ,

$\frac{3}{4}= \frac{3\cdot 18}{4\cdot 18}=\frac{54}{72}$ ,

$\frac{5}{6}= \frac{5\cdot 12}{6\cdot 12}=\frac{60}{72}$ ,

$\frac{7}{8}= \frac{7\cdot 9}{8\cdot 9}=\frac{63}{72}$ ,

$\frac{8}{9}= \frac{8\cdot 8}{9\cdot 9}=\frac{64}{72}$ ,

$\frac{11}{12}= \frac{11\cdot 6}{12\cdot 6}=\frac{66}{72}$ ,

$\frac{17}{18}= \frac{17\cdot 4}{18\cdot 4}=\frac{68}{72}$ ,

$\frac{23}{24}= \frac{23\cdot 3}{24\cdot 3}=\frac{69}{72}$ ,

$\frac{35}{36}= \frac{35\cdot 2}{36\cdot 2}=\frac{70}{72}$ . ♦

Приклад

Скоротіть дроби:

а) $\frac{360}{240}$ ;

б) $\frac{312}{676}$ ;

в) $\frac{7\cdot 10}{15\cdot 21}$ ;

г) $\frac{9\cdot 3}{4\cdot 27}$ ;

д) $\frac{3\cdot 19-3\cdot 14}{3\cdot 7+2\cdot 7}$ ;

е) $\frac{5\cdot 6+5\cdot 10+5\cdot 3}{5\cdot 12+5\cdot 5+5\cdot 2}$ .

♦ Скоротити дріб означає поділити його чисельник та знаменник на їх найбільший спільний дільник. Тому, розкладемо чисельник і знаменники дробів на множники і скоротимо на спільні з них.

а) $\frac{360}{240}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}=\frac{3}{2}$ .

б) $\frac{312}{676}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 13}{2\cdot 2\cdot 13\cdot 13}=\frac{2\cdot 3}{13}=\frac{6}{13}$ .

в) $\frac{7\cdot 10}{15\cdot 21}=\frac{7\cdot 2\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 3\cdot 7}=\frac{2}{3\cdot 3}=\frac{2}{9}$ .

г) $\frac{9\cdot 3}{4\cdot 27}=\frac{27}{4\cdot 27}=\frac{1}{4}$ .

д) $\frac{3\cdot 19-3\cdot 14}{3\cdot 7+2\cdot 7}=\frac{3(19-14)}{7(3+2)}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 5}=\frac{3}{7}$ .

е) $\frac{5\cdot 6+5\cdot 10+5\cdot 3}{5\cdot 12+5\cdot 5+5\cdot 2}=\frac{5(6+10+3)}{5(12+5+2)}=\frac{5\cdot 18}{5\cdot 19}=\frac{18}{19}$ .♦

Приклад

Запишіть 5 дробів, які дорівнюють дробу

$\frac{4}{12}$ .

♦ За основною властивістю дробу чисельник і знаменник можна домножувати або доділювати на одне і те ж саме число. При цьому величина дробу не зміниться. Тому, для заданого дробу рівними будуть $\frac{1}{3}$ (чисельник і знаменник поділили на 4), $\frac{2}{6}$ (чисельник і знаменник поділили на 2), $\frac{8}{24}$ (чисельник і занменник помножили на 2), $\frac{12}{36}$ (чисельник і знаменник помножили на 3), $\frac{20}{60}$ (чисельник і знаменник помножили на 5). ♦