Повне дослідження функції та побудова її графіка

Приклад

Провести повне дослідження функції $f(x)=\frac{x^{2}+4}{x}$ та побудувати її графік.

♦ 1. Знайдемо область визначення функції: D(f) = (-∞; 0 ) ∪ (0; + ∞).

Функція непарна, оскільки f(-x) = – f(x) при ∀ x ∈ D (f), тому графік симетричний відносно початку координат. А отже, подальше дослідження будемо проводити лише для x > 0.

Функція неперіодична. Графік функції не перетинає осей координат, оскільки ні х=0 не входить до області визначення, а у не може дорівнювати нулю при жодному значенні х. При x > 0 маємо y > 0, тобто графік функції знаходиться над віссю Ох. Функція неперервна в свої області визначення. А в точці х=0 вона має нескінченний розрив:

$\lim_{x\rightarrow 0-0} \frac{x^{2}+4}{x} =-\propto ,\; \lim_{x\rightarrow 0+0} \frac{x^{2}+4}{x} =+\propto$ .

2. З попередніх рівностей випливає, що пряма х = 0 (вісь ординат) є вертикальною асимптотою. Для визначення похилої асимптоти y = kx + b обчислимо коефіцієнти k та b: $k = \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\rightarrow +\propto } \frac{x^{2}+4}{x} = 1,$

$b = \lim_{x\rightarrow +\propto }(f(x) - kx)= \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{4}{x}=0$ .

Отже, пряма у = х є похилою асимптотою.

3. Запишемо функцію у вигляді $y = x + \frac{4}{x}$ , знайдемо її похідну і прирівняємо до нуля. Дістанемо $f'(x) = 1- \frac{4}{x^{2}},\; \frac{x^{2}-4}{x^{2}}=0\Leftrightarrow x^{2}-4=0$ . Маємо додатний корінь х = 2.

Дослідимо функцію на екстремум, використовуючи другу похідну:

$f''(x)=\frac{8}{x^{3}},\; f''(x)>0$ . Отже, при х = 2 маємо $f_{min}=4$ . На проміжку (0; 2) функція спадає, а на проміжку (2; +∞) – зростає.

4. Оскільки f”(x) > 0 при x > 0, то графік функції на цьому інтервалі опуклий вниз і точок перегину не має.

5. Допоміжні точки (1; 5) та (3; 4). Будуємо графік заданої функції для x > 0, а потім симетрично відображаємо його відносно початку координат. Отримаємо:

♦

Приклад

Дослідити функцію та побудувати її графік: $y=\frac{x^{2}+6}{x^{2}+1}$ .

♦ 1) ОДЗ.

Дробово-раціональна функція визначена тоді і тільки тоді, коли її знаменник не дорівнює нулю. Оскільки знаменник заданої функції завжди додатній і не перетворюється в нуль при жодному значенні х, то функція визначена на всій множині дійсних чисел. Тому D(f) = R.

2) Періодичність.

Функція неперіодична.

3) Парність – непарність.

$y(-x)=\frac{(-x)^{2}+6}{(-x)^{2}+1}=y=\frac{x^{2}+6}{x^{2}+1}=y(x)$ .

Отже, функція парна, а значить її графік симетричний відносно осі Оу.

4) Перетин графіка з осями координат.

Графік перетинає вісь Оу при х = 0. Тому $x=0\Rightarrow y=\frac{0+6}{0+1}=6$ .

Графік перетинає вісь Ох при у = 0. Але дріб не дорівнює нулю при будь-якому значенні х (чисельник завжди додатній). Значить графік функції не перетинає вісь Ох.

5) Неперервність.

Оскільки функція визначена на всій множині дійсних чисел, то вона є неперервною на всій області визначення.

6) Асимптоти графіка функції.

Вертикальних асимптот немає, оскільки функція неперевна. Знайдемо похилі та горизонтальні асимптоти, якщо вони існують. Їх шукатимемо у вигляді у = kх + b.

$k=\lim_{x\rightarrow \propto }\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \propto }\frac{x^{2}+6}{x(x^{2}+1)}=$

$=\lim_{x\rightarrow \propto }\frac{x^{2}(1+\frac{6}{x^{2}})}{x^{2}(1+\frac{1}{x^{2}})}=$

$=\lim_{x\rightarrow \propto }\frac{1}{x}=0$

$b=\lim_{x\rightarrow \propto }(f(x)-kx)=\lim_{x\rightarrow \propto }\frac{x^{2}+6}{x^{2}+1}=$

$=\lim_{x\rightarrow \propto }\frac{x^{2}(1+\frac{6}{x^{2}})}{x^{2}(1+\frac{1}{x^{2}})}=\lim_{x\rightarrow \propto }1=1$ .

Отже, маємо горизонтальну асимптоту у = 1.

7) Монотонність.

Визначимо проміжки зростання та спадання функції. Для цього знайдемо похідну функції:

$y'=\frac{2x(x^{2}+1)-2x(x^{2}+6)}{(x^{2}+1)^{2}}=$

$=\frac{2x^{3}+2x-2x^{3}-12x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{-10x}{(x^{2}+1)^{2}}$ .

Функція зростає, коли її похідна більша за нуль і спадає – коли менша.

Оскільки $(x^{2}+1)^{2}>0$ , то у’ > 0, при -10x > 0 ⇒ x < 0, та y’ < 0, при -10x < 0 ⇒ x > 0.

Тобто функція зростає при х ∈ (-∞; 0) та спадає при х ∈ (0; +∞).

8) Екстремуми функції.

Для знаходження екстремумів функції, потрібно визначити критичні точки, тобто точки в яких похідна не існує або дорівнює нулю. Оскільки знаменник похідної не перетворюється в нуль при жодному значенні х, а чисельник дорівнює нулю лише при х = 0, то це і є точка підозріла на екстремум.

З попереднього пункту бачимо, що при переході через цю точку похідна змінює знак з “+” на “-“. Тому х = 0 є точкою максимуму функції.

При х = 0, у = 5 – найбільше значення функції.

9) Опуклість та точки перегину.

Для знаходження точок перегину графіка функції, потрібно обчислити другу похідну функції:

$y''=\left(\frac{-10x}{(x^{2}+1)^2} \right)'=$

$=\frac{-10(x^2+1)^2+10x\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}=$

$=\frac{-10(x^4+2x^2+1)+40x^4+40x^2}{(x^2+1)^4}=$

$=\frac{30x^4+20x^2-10}{(x^2+1)^4}$ .

Прирівняємо другу похідну до нуля.

$f''(x)=0\Rightarrow 30x^4+20x^2-10=0,$

$3x^4+2x^2-1=0,$

$x^2=t,\; t\geq 0,$

$3t^2+2t-1=0$

$D=4-4\cdot 3\cdot (-1)=16,$

$t_{1}=\frac{-2-4}{2\cdot 3}=-1,$ – не задовольняє умови заміни;

$t_{2}=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3}\Rightarrow x_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}},\; x_{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Перевіримо чи змінює знак f” при переході через точки $x_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ та $x_{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Отже, $x_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}},\; x_{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ – точки перегину графіка функції. На проміжку $(-\propto ; -\frac{1}{\sqrt{3}})\bigcup{}(\frac{1}{\sqrt{3}};+\propto )$ графік функції опуклий вниз, а на проміжку $(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}})$ – вгору.

10) Побудова графіка функції.